Darstellung von Sinusgrößen

Effektivwert, Gleichrichtwert

Impedanz

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Periodisch zeitabhängige Spannung

\[ a) \bar{u}=\frac{5}{3} \mathrm{~V} \]
\[ b) u_{\sim}=u(t)-\bar{u}=\left\{\begin{array}{lll} 4 / 3 \mathrm{~V} &amp; \text { für } &amp; 0 \leq t \leq T / 3 \\ -2 / 3 \mathrm{~V} &amp; \text { für } &amp; T / 3 \leq t \leq T \end{array}\right. \]
\[ c) \overline{\left|u_{\sim}\right|}=\frac{8}{9} \mathrm{~V} \]
\[ \begin{array}{l} d) U_{\sim}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \mathrm{~V} \end{array} \]
\[ \begin{aligned} e) U &amp;=\sqrt{\frac{11}{3}} \mathrm{~V}=\sqrt{U_{\sim}^{2}+\bar{u}^{2}} \end{aligned} \]

Zunächst wird der Gleichanteil benötigt:

\[ \bar{u}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} u(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{T}\left(3 \mathrm{~V} \frac{T}{3}+1 \mathrm{~V} \frac{2 T}{3}\right)=1 \frac{2}{3} \mathrm{~V}=\frac{5}{3} \mathrm{~V} \]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\bar{u}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} u(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{T}\left(3 \mathrm{~V} \frac{T}{3}+1 \mathrm{~V} \frac{2 T}{3}\right)=1 \frac{2}{3} \mathrm{~V}=\frac{5}{3} \mathrm{~V}
" style="vertical-align: -2.293ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="60.339ex" height="5.838ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1566.8 26670 2580.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2765-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-2765-TEX-N-56" d="M114 620Q113 621 110 624T107 627T103 630T98 632T91 634T80 635T67 636T48 637H19V683H28Q46 680 152 680Q273 680 294 683H305V637H284Q223 634 223 620Q223 618 313 372T404 126L490 358Q575 588 575 597Q575 616 554 626T508 637H503V683H512Q527 680 627 680Q718 680 724 683H730V637H723Q648 637 627 596Q627 595 515 291T401 -14Q396 -22 382 -22H374H367Q353 -22 348 -14Q346 -12 231 303Q114 617 114 620Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-S3-29" d="M34 1438Q34 1446 37 1448T50 1450H56H71Q73 1448 99 1423T144 1380T198 1319T260 1238T323 1137T385 1013T440 864T485 688T514 485T526 251Q526 134 519 53Q472 -519 162 -860Q139 -885 119 -904T86 -936T71 -949H56Q43 -949 39 -947T34 -937Q88 -883 140 -813Q428 -430 428 251Q428 453 402 628T338 922T245 1146T145 1309T46 1425Q44 1427 42 1429T39 1433T36 1436L34 1438Z"></path><path id="MJX-2765-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(63.8, -42)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1905.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(322, 676)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-I-1D447"></use></g><rect width="904" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(3216.2, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1013.4, 1088.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(361, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(764.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1542.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-I-1D447"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(556, -896.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(361, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6034.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6606.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6995.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7356.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(7745.8, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8301.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8940.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(9996.4, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(322, 676)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-I-1D447"></use></g><rect width="904" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(11140.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(736, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1236, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-56"></use></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2236, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(322, -686)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-33"></use></g><rect width="904" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3602.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4602.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(5102.4, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-56"></use></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(6102.4, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-I-1D447"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -686)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-33"></use></g><rect width="1404" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7746.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(19900.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(20956.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(21456.4, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(22396.4, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-56"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(23674.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(24730, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(25670, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2765-TEX-N-56"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>

\[ u_{\sim}=u(t)-\bar{u}=\left\{\begin{array}{lll} 4 / 3 \mathrm{~V} &amp; \text { für } &amp; 0 \leq t \leq T / 3 \\ -2 / 3 \mathrm{~V} &amp; \text { für } &amp; T / 3 \leq t \leq T \end{array}\right. \]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
u_{\sim}=u(t)-\bar{u}=\left\{\begin{array}{lll}
4 / 3 \mathrm{~V} & \text { für } & 0 \leq t \leq T / 3 \\
-2 / 3 \mathrm{~V} & \text { für } & T / 3 \leq t \leq T
\end{array}\right.
" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="46.622ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 20606.8 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2766-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-223C" d="M55 166Q55 241 101 304T222 367Q260 367 296 349T362 304T421 252T484 208T554 189Q616 189 655 236T694 338Q694 350 698 358T708 367Q722 367 722 334Q722 260 677 197T562 134H554Q517 134 481 152T414 196T355 248T292 293T223 311Q179 311 145 286Q109 257 96 218T80 156T69 133Q55 133 55 166Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-S3-7B" d="M618 -943L612 -949H582L568 -943Q472 -903 411 -841T332 -703Q327 -682 327 -653T325 -350Q324 -28 323 -18Q317 24 301 61T264 124T221 171T179 205T147 225T132 234Q130 238 130 250Q130 255 130 258T131 264T132 267T134 269T139 272T144 275Q207 308 256 367Q310 436 323 519Q324 529 325 851Q326 1124 326 1154T332 1205Q369 1358 566 1443L582 1450H612L618 1444V1429Q618 1413 616 1411L608 1406Q599 1402 585 1393T552 1372T515 1343T479 1305T449 1257T429 1200Q425 1180 425 1152T423 851Q422 579 422 549T416 498Q407 459 388 424T346 364T297 318T250 284T214 264T197 254L188 251L205 242Q290 200 345 138T416 3Q421 -18 421 -48T423 -349Q423 -397 423 -472Q424 -677 428 -694Q429 -697 429 -699Q434 -722 443 -743T465 -782T491 -816T519 -845T548 -868T574 -886T595 -899T610 -908L616 -910Q618 -912 618 -928V-943Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-2F" d="M423 750Q432 750 438 744T444 730Q444 725 271 248T92 -240Q85 -250 75 -250Q68 -250 62 -245T56 -231Q56 -221 230 257T407 740Q411 750 423 750Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-2766-TEX-N-56" d="M114 620Q113 621 110 624T107 627T103 630T98 632T91 634T80 635T67 636T48 637H19V683H28Q46 680 152 680Q273 680 294 683H305V637H284Q223 634 223 620Q223 618 313 372T404 126L490 358Q575 588 575 597Q575 616 554 626T508 637H503V683H512Q527 680 627 680Q718 680 724 683H730V637H723Q648 637 627 596Q627 595 515 291T401 -14Q396 -22 382 -22H374H367Q353 -22 348 -14Q346 -12 231 303Q114 617 114 620Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-66" d="M273 0Q255 3 146 3Q43 3 34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q99 52 103 60Q104 62 104 224V385H33V431H104V497L105 564L107 574Q126 639 171 668T266 704Q267 704 275 704T289 705Q330 702 351 679T372 627Q372 604 358 590T321 576T284 590T270 627Q270 647 288 667H284Q280 668 273 668Q245 668 223 647T189 592Q183 572 182 497V431H293V385H185V225Q185 63 186 61T189 57T194 54T199 51T206 49T213 48T222 47T231 47T241 46T251 46H282V0H273Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-72" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T98 122T98 161T98 203Q98 234 98 269T98 328L97 351Q94 370 83 376T38 385H20V408Q20 431 22 431L32 432Q42 433 60 434T96 436Q112 437 131 438T160 441T171 442H174V373Q213 441 271 441H277Q322 441 343 419T364 373Q364 352 351 337T313 322Q288 322 276 338T263 372Q263 381 265 388T270 400T273 405Q271 407 250 401Q234 393 226 386Q179 341 179 207V154Q179 141 179 127T179 101T180 81T180 66V61Q181 59 183 57T188 54T193 51T200 49T207 48T216 47T225 47T235 46T245 46H276V0H267Q249 3 140 3Q37 3 28 0H20V46H36Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-2766-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-223C"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1449.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2505.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3077.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3466.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3827.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4438.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(5439.1, 0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(63.8, -42)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6288.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(7344.7, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-S3-7B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(750, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1000, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-56"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4278, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-A0"></use><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-66" transform="translate(250, 0)"></use><text data-variant="normal" transform="translate(556, 0) matrix(1 0 0 -1 0 0)" font-size="884px" font-family="serif">ü</text><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-72" transform="translate(1156, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-A0" transform="translate(1548, 0)"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7076, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(777.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1833.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2472.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3528.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(4232.1, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4732.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1278, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1778, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-56"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4278, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-A0"></use><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-66" transform="translate(250, 0)"></use><text data-variant="normal" transform="translate(556, 0) matrix(1 0 0 -1 0 0)" font-size="884px" font-family="serif">ü</text><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-72" transform="translate(1156, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-A0" transform="translate(1548, 0)"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7076, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(704, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1204, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1981.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3037.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3676.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4732.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-2766-TEX-I-1D447"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13262.1, 0)"></g></g></g></g></svg></mjx-container>

c) Gleichrichtwert des Wechselanteils

\[ \overline{\left|u_{\sim}\right|}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\left|u_{\sim}\right| \mathrm{d} t=\frac{1}{T}\left(\frac{4}{3} \mathrm{~V} \frac{T}{3}+\frac{2}{3} \mathrm{~V} \frac{2 T}{3}\right)=\left(\frac{4}{9}+\frac{4}{9}\right) \mathrm{V}=\frac{8}{9} \mathrm{~V} \]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\overline{\left|u_{\sim}\right|}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\left|u_{\sim}\right| \mathrm{d} t=\frac{1}{T}\left(\frac{4}{3} \mathrm{~V} \frac{T}{3}+\frac{2}{3} \mathrm{~V} \frac{2 T}{3}\right)=\left(\frac{4}{9}+\frac{4}{9}\right) \mathrm{V}=\frac{8}{9} \mathrm{~V}
" style="vertical-align: -2.293ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="71.133ex" height="5.838ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1566.8 31441 2580.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2767-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-223C" d="M55 166Q55 241 101 304T222 367Q260 367 296 349T362 304T421 252T484 208T554 189Q616 189 655 236T694 338Q694 350 698 358T708 367Q722 367 722 334Q722 260 677 197T562 134H554Q517 134 481 152T414 196T355 248T292 293T223 311Q179 311 145 286Q109 257 96 218T80 156T69 133Q55 133 55 166Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-S4-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-2767-TEX-N-56" d="M114 620Q113 621 110 624T107 627T103 630T98 632T91 634T80 635T67 636T48 637H19V683H28Q46 680 152 680Q273 680 294 683H305V637H284Q223 634 223 620Q223 618 313 372T404 126L490 358Q575 588 575 597Q575 616 554 626T508 637H503V683H512Q527 680 627 680Q718 680 724 683H730V637H723Q648 637 627 596Q627 595 515 291T401 -14Q396 -22 382 -22H374H367Q353 -22 348 -14Q346 -12 231 303Q114 617 114 620Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-S3-29" d="M34 1438Q34 1446 37 1448T50 1450H56H71Q73 1448 99 1423T144 1380T198 1319T260 1238T323 1137T385 1013T440 864T485 688T514 485T526 251Q526 134 519 53Q472 -519 162 -860Q139 -885 119 -904T86 -936T71 -949H56Q43 -949 39 -947T34 -937Q88 -883 140 -813Q428 -430 428 251Q428 453 402 628T338 922T245 1146T145 1309T46 1425Q44 1427 42 1429T39 1433T36 1436L34 1438Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path><path id="MJX-2767-TEX-N-38" d="M70 417T70 494T124 618T248 666Q319 666 374 624T429 515Q429 485 418 459T392 417T361 389T335 371T324 363L338 354Q352 344 366 334T382 323Q457 264 457 174Q457 95 399 37T249 -22Q159 -22 101 29T43 155Q43 263 172 335L154 348Q133 361 127 368Q70 417 70 494ZM286 386L292 390Q298 394 301 396T311 403T323 413T334 425T345 438T355 454T364 471T369 491T371 513Q371 556 342 586T275 624Q268 625 242 625Q201 625 165 599T128 534Q128 511 141 492T167 463T217 431Q224 426 228 424L286 386ZM250 21Q308 21 350 55T392 137Q392 154 387 169T375 194T353 216T330 234T301 253T274 270Q260 279 244 289T218 306L210 311Q204 311 181 294T133 239T107 157Q107 98 150 60T250 21Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(0, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(278, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-223C"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1450.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-7C"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 564.8) scale(0.707)"><svg width="2443.9" height="246" x="0" y="444" viewBox="611 444 2443.9 246"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-S4-AF" transform="scale(7.332, 1)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2005.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3061.7, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(322, 676)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-I-1D447"></use></g><rect width="904" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(4372.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1013.4, 1088.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(361, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(764.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1542.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-I-1D447"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(556, -896.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(361, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(7024.3, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(278, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-223C"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1450.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-7C"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(8752.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9308.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9947.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(11003, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(322, 676)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-I-1D447"></use></g><rect width="904" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(12147, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(736, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1676, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-56"></use></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2676, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(322, -686)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-33"></use></g><rect width="904" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4042.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5042.4, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(5982.4, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-56"></use></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(6982.4, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-I-1D447"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -686)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-33"></use></g><rect width="1404" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8626.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(21787.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(22843, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(736, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-39"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1898.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2898.4, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-39"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3838.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(27417.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-56"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(28445.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(29501, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-38"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-39"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(30441, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2767-TEX-N-56"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>

d) Effektivwert des Wechselanteils

\[ \begin{array}{l} U_{\sim}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} u_{\sim}^{2} \mathrm{~d} t} \\ U_{\sim}^{2}=\frac{1}{T}\left(\frac{16}{9} \mathrm{~V}^{2} \frac{T}{3}+\frac{4}{9} \mathrm{~V}^{2} \frac{2 T}{3}\right) \\ U_{\sim}^{2}=\left(\frac{16}{27}+\frac{8}{27}\right) \mathrm{V}^{2}=\frac{24}{27} \mathrm{~V}^{2}=\frac{8}{9} \mathrm{~V}^{2} \\ U_{\sim}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \mathrm{~V} \end{array} \]

e) Effektivwert des Spannung \( u(t) \)

e) Effektivwert des Spannung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" u(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.871ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1711 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2769-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2769-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2769-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2769-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2769-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572, 0)"><use xlink:href="#MJX-2769-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(961, 0)"><use xlink:href="#MJX-2769-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1322, 0)"><use xlink:href="#MJX-2769-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>

\[ \begin{aligned} U &amp;=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} u^{2} \mathrm{~d} t} \\ U^{2} &amp;=\frac{1}{T}\left(9 \mathrm{~V}^{2} \frac{T}{3}+1 \mathrm{~V}^{2} \frac{2 T}{3}\right) \\ U &amp;=\sqrt{\frac{11}{3}} \mathrm{~V}=\sqrt{U_{\sim}^{2}+\bar{u}^{2}} \end{aligned} \]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\begin{aligned}
U &=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} u^{2} \mathrm{~d} t} \\
U^{2} &=\frac{1}{T}\left(9 \mathrm{~V}^{2} \frac{T}{3}+1 \mathrm{~V}^{2} \frac{2 T}{3}\right) \\
U &=\sqrt{\frac{11}{3}} \mathrm{~V}=\sqrt{U_{\sim}^{2}+\bar{u}^{2}}
\end{aligned}
" style="vertical-align: -9.071ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="29.393ex" height="19.274ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -4509.5 12991.9 8519" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2770-TEX-I-1D448" d="M107 637Q73 637 71 641Q70 643 70 649Q70 673 81 682Q83 683 98 683Q139 681 234 681Q268 681 297 681T342 682T362 682Q378 682 378 672Q378 670 376 658Q371 641 366 638H364Q362 638 359 638T352 638T343 637T334 637Q295 636 284 634T266 623Q265 621 238 518T184 302T154 169Q152 155 152 140Q152 86 183 55T269 24Q336 24 403 69T501 205L552 406Q599 598 599 606Q599 633 535 637Q511 637 511 648Q511 650 513 660Q517 676 519 679T529 683Q532 683 561 682T645 680Q696 680 723 681T752 682Q767 682 767 672Q767 650 759 642Q756 637 737 637Q666 633 648 597Q646 592 598 404Q557 235 548 205Q515 105 433 42T263 -22Q171 -22 116 34T60 167V183Q60 201 115 421Q164 622 164 628Q164 635 107 637Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-S4-221A" d="M983 1739Q988 1750 1001 1750Q1008 1750 1013 1745T1020 1733Q1020 1726 742 244T460 -1241Q458 -1250 439 -1250H436Q424 -1250 424 -1248L410 -1166Q395 -1083 367 -920T312 -601L201 44L137 -83L111 -57L187 96L264 247Q265 246 369 -357Q470 -958 473 -963L727 384Q979 1729 983 1739Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-2770-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-N-56" d="M114 620Q113 621 110 624T107 627T103 630T98 632T91 634T80 635T67 636T48 637H19V683H28Q46 680 152 680Q273 680 294 683H305V637H284Q223 634 223 620Q223 618 313 372T404 126L490 358Q575 588 575 597Q575 616 554 626T508 637H503V683H512Q527 680 627 680Q718 680 724 683H730V637H723Q648 637 627 596Q627 595 515 291T401 -14Q396 -22 382 -22H374H367Q353 -22 348 -14Q346 -12 231 303Q114 617 114 620Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-S3-29" d="M34 1438Q34 1446 37 1448T50 1450H56H71Q73 1448 99 1423T144 1380T198 1319T260 1238T323 1137T385 1013T440 864T485 688T514 485T526 251Q526 134 519 53Q472 -519 162 -860Q139 -885 119 -904T86 -936T71 -949H56Q43 -949 39 -947T34 -937Q88 -883 140 -813Q428 -430 428 251Q428 453 402 628T338 922T245 1146T145 1309T46 1425Q44 1427 42 1429T39 1433T36 1436L34 1438Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-S3-221A" d="M424 -948Q422 -947 313 -434T202 80L170 31Q165 24 157 10Q137 -21 137 -21Q131 -16 124 -8L111 5L264 248L473 -720Q473 -717 727 359T983 1440Q989 1450 1001 1450Q1007 1450 1013 1445T1020 1433Q1020 1425 742 244T460 -941Q458 -950 439 -950H436Q424 -950 424 -948Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-LO-221A" d="M1001 1150Q1017 1150 1020 1132Q1020 1127 741 244L460 -643Q453 -650 436 -650H424Q423 -647 423 -645T421 -640T419 -631T415 -617T408 -594T399 -560T385 -512T367 -448T343 -364T312 -259L203 119L138 41L111 67L212 188L264 248L472 -474L983 1140Q988 1150 1001 1150Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-N-223C" d="M55 166Q55 241 101 304T222 367Q260 367 296 349T362 304T421 252T484 208T554 189Q616 189 655 236T694 338Q694 350 698 358T708 367Q722 367 722 334Q722 260 677 197T562 134H554Q517 134 481 152T414 196T355 248T292 293T223 311Q179 311 145 286Q109 257 96 218T80 156T69 133Q55 133 55 166Z"></path><path id="MJX-2770-TEX-N-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 2557.6)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(457.8, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D448"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1224.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(1333.6, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(322, 676)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D447"></use></g><rect width="904" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(1310.7, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1013.4, 1088.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(361, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(764.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1542.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D447"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(556, -896.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(361, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4129.3, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(5104.8, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5910.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D461"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 141.9)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-S4-221A"></use></g><rect width="6271.8" height="60" x="1020" y="1831.9"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -300)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D448"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(821.2, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1224.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(322, 676)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D447"></use></g><rect width="904" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2477.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(736, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-39"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1236, 0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-56"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1000, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2639.6, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(322, -686)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-33"></use></g><rect width="904" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4005.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5006, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(5506, 0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-56"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1000, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(6909.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D447"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -686)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-33"></use></g><rect width="1404" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8553.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-S3-29"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -3241.7)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(457.8, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D448"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1224.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(1333.6, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-31" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(470, -686)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-33"></use></g><rect width="1200" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 182.3)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-S3-221A"></use></g><rect width="1440" height="60" x="1020" y="1572.3"></rect></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3793.6, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-56"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5071.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(6127.1, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D448"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(821.2, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(683, -247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-223C"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1505.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2505.6, 0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(63.8, -42)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 375.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 211.8)"><use xlink:href="#MJX-2770-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="3481.1" height="60" x="1020" y="1301.8"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Gegeben ist eine periodisch zeitabhängige Spannung \( u(t) \) mit der Periodendauer \( T \) und dem nachfolgend skizzierten Verlauf:
<img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/60729dd3b1cc102914f982e3.png" alt="Abbildung" />
Bestimmen Sie: a) den arithmetischen Mittelwert \( \overline{u(t)} \) von \( u(t) \), b) den Wechselanteil \( u_{\sim}(t) \) von \( u(t) \) (skizzieren Sie \( \left.u_{\sim}(t)\right) \), c) den Gleichrichtwert von \( u_{\sim}(t) \), d) den Effektivwert von \( u_{\sim}(t) \)
e) den Effektivwert von \( u(t) \).

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Effektivwert, Gleichrichtwert mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Grundbegriffe, Grundgrößen - Effektivwert, Gleichrichtwert | Aufgabe m

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: