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Aufgabenstellung:

Das gegebene Tiefpassfilter enthält eine Verstärkerstufe und zwei -Glieder. Dieses aktive Filter wird durch einen mitgekoppelten Verstärker (mit einem unendlich großen Eingangswiderstand) realisiert, dessen Verstärkung durch eine interne Gegenkopplung auf einen genau definierten Wert festgelegt wird. Die Gegenkopplung erfolgt durch einen Spannungsteiler und die Mitkopplung über . Der Faktor ist der eingestellte Verstärkungsfaktor und bestimmt den Frequenzgang des Filters entscheidend, wenn man wie üblich und wählt.

Aktiver Tiefpass

Abbildung

a) Zeigen Sie, dass sich für die Übertragungsfunktion folgende Beziehung ergibt:

Lösungshinweis: Stellen Sie für die Lösung zunächst die Knotengleichungen für die Knoten (1), (2) und (3) auf. Nutzen Sie dann die Gleichsetzungsmöglichkeit der Spannungen und aus, die wegen am Verstärkereingang besteht.
b) Führen Sie die Dimensionierung des Filters unter den folgenden Bedingungen aus:

Nutzen Sie die u. a. ergänzenden Hinweise.
c) Berechnen und zeichnen Sie den Amplitudengang des Filters.
d) Bestimmen sie die dB-Grenzfrequenz aus dem Amplitudengang des Filters.

e) Ermittelen Sie die Dämpfung des Filters im Sperrbereich in dB/Dekade aus der Abnahme des Amplitudenganges über eine Frequenzdekade.

Lösungsweg:

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Ergänzende Hinweise

Vorgehensweise beim Filterentwurf:

Filter werden nach optimierten Frequenzgängen entworfen, z. B. als BESSEL-, BUTTERWORTH- oder TSCHEBYCHEFF-Tiefpässe.

Um das Filter konkret dimensionieren zu können wird zuerst die Grenzfrequenz festgelegt:

Die Grenzfrequenz wird in die Übertragungsfunktion der Schaltung eingeführt durch die Setzung:

Dadurch entsteht eine Übertragungsfunktion mit einheitenfreien Koeffizienten von wie sie den Filtertabellen zugrunde liegt:

Dann werden einer Filtertabelle für den gewünschten Filtertyp zwei Koeffizienten entnommen, z.B. für einen BUTTERWORTH-Tiefpass, 2. Ordnung:

für den Term 

für den Term 

Aus diesen Angaben kann das Produkt und der Faktor berechnet werden.

Es folgt die Berechnung der Schaltungswerte:

ää

a) Übertragungsfunktion

Knotenspannungsverfahren mit den Knoten 1,2 und 3 :

Folgt mit

Gl. (4) in Gl. (1) eingesetzt:

Gl. (4.16.4) in Gl. (4.16.2) eingesetzt und nach aufgelöst:

Gl. (4) in Gl. (5) eingesetzt und sortiert nach und , sowie vereinfacht durch:
Übertragungsfunktion:

b) Filterdimensionierung

Dimensionierung: Gegegeben:

Lösung:

Verstärkungsfaktor :

c) Amplitudengang

Aus der Übertragungsfunktion

Einsetzen des Verstärkungsfaktors ergibt:

Übergang auf Betrag:

Einsetzen der normierten Frequenz ergibt Amplitudengang:

Setzt man ein paar Werte für ein erhält man folgende Tabelle mit der sich der Amplitudengang dann zeichen lässt.

d) Grenzfrequenz

Ansatz für die -Grenzfrequenz im Amplitudengang:

-Grenzfrequenz bei:

e) Dämpfung des Filters

Betrachtung des Amplitudenganges bei hohen Frequenzen ergibt:

Man erkennt:

Die Dämpfung nimmt im Sperrbereich um Dekade Dekade pro zu.

Lösung:

siehe Lösungsweg