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Aufgabenstellung:

Zeigen Sie für den Reihenresonanzkreis, dass folgende Beziehungen gelten:

Abbildung

a) Im Resonanzfall (Minimum)

b) Bei Grenzfrequenzen

c) Leiten Sie aus dem Ansatz eine Beziehung für die Grenzfrequenzen in der Form her.

d) Gehen Sie von den Definitionsgleichungen für Bandbreite und Schwingkreisgüte aus, und leiten Sie unter Verwendung der in Aufgabenteil c) gefundenen Beziehung folgende Schwingkreisformeln her.

 

Lösungsweg:

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a)  Resonanzfall

Resonanzfall: , d.h. Imaginärteil verschwindet:

also folgt:

b) Grenzfrequenzen

Bandgrenzen

, d.h.

c) Beziehung Grenzfrequenz

Auszuwerten ist z. B. nur die Gleichung

da die zweite Beziehung mit negativer Klammer die gleichen Ergebnisse liefert:

Mit folgt:

Da der Wurzelausdruck für reale Bauelemente immer Werte liefert, die größer als der Wert sind und außerdem nur reale, d.h. positive Wurzeln interessieren, folgt als Ergebnis:

d) Herleitung Schwingkreisformel

Die Bandbreite ist definiert als die Differenz der beiden Grenzfrequenzen:

Durch einsetzen der unter c) hergeleiten Beziehung ergibt sich:

Die Güte ist definiert aus der Resonanzfrequenz bezogen auf die Bandbreite:

Einsetzen der Bandbreiteformel für und der Resonanzformel für ergibt
Häufig wird anstelle des Gütefaktors der Dämpfungsfaktor verwendet, der jedoch nur den Reziprokwert der Güte darstellt:

Lösung:

siehe Lösungsweg