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Aufgabenstellung:

Für die Bestimmung der Kenngrößen eines Parallelresonanzkreises wird die abgebildete Messschaltung verwendet.

An den Resonanzkreis ist (links im Bild) ein Messgenerator mit dem Vorwiderstand und (rechts im Bild) ein HF-Voltmeter (Eingangswiderstand , Eingangskapazität ) geschaltet.

Die Messung mit einer Generatorspannung mit dem frequenzunabhängigen Effektivwert ergibt die angegebene Frequenzabhängigkeit der Messspannung mit ,

Abbildung

a) Bestimmen Sie aus den Messwerten die Größen und die Güte des (gesamten) Resonanzkreises. Stellen Sie dazu den Generator mit seinem Vorwiderstand durch eine Stromquellenersatzschaltung dar.
b) Überprüfen Sie die Ergebnisse mit einer Schaltungssimulation und stellen Sie die Resonanzkurve des Schwingkreises und die durch das HF-Voltmeter verfälschte Resonanzkurve in einem Diagramm dar.

Lösungsweg:

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Ansatz

a) Umrechnen der Spannungsquelle in eine Stromquelle

b) Bestimmung der Güte des Gesamtkreises

c) Berechnung von bei Resonanz

d) Berechnung der Kapazität über die Güte

e) Berechnung der Induktivität bei Resonanz

Umrechnen Spannungsquelle Stromquelle

Die Spannungsquelle des Generators wird in eine Stromquelle mit Innenwiderstand umgerechnet.

Der Kurzschlussstrom der Quelle beträgt somit

Der Innenwiderstand der Quelle ändert sich nicht.

Güte des Gesamtkreises

Die Güte des Kreises bestimmt die Bandbreite nach der Formel

Ergänzung

Die Formel kann hergeleitet werden aus

Hieraus folgt dann

Setzt man nun die gegebenen Werte ein, so erhält man für die Güte

Berechnung des Parallelwiderstandes bei Resonanz

Bei Resonanz wird beim Parallelschwingkreis der Leitwert minimal und reell.

Daher sind in diesem Fall nur die parallelen Widerstände wirksam.

Es wird laut Aufgabenstellung eine Messspannung von gemessen.

Es folgt daher:

Der Ersatzwiderstand wird aus der Parallelschaltung von und gebildet.

Daher gilt für

Bestimmung der Kapazität

Die Kapazität der Gesamtschaltung kann man ebenfalls über die Güte berechnen.

Es gilt

Dieser Wert ist allerdings der Wert der Gesamtkapazität. Es muss nun noch die Kapazität des Voltmeters subtrahiert werden.

Bestimmung der Induktivität

Die Induktivität wird bei Resonanz berechnet. Es muss allerdings beachtet werden, dass wieder die Gesamtkapazität eingesetzt werden muss. Es gilt:

Überprüfung im Schaltungssimulator

Die Schaltung wird in einer -Simulation untersucht und dafür die AC-Spannung auf eingestellt.

Zusätzlich wird in den Pfad ein Widerstand mit eingebracht, der zum gleichzeitigen Darstellen der beiden Frequenzgänge dient.

Es wird jeweils eine Simulation mit und mit durchgeführt.

Die Schaltung sieht daher gemäß Abbildung 1 aus, die Frequenzgänge sind in Abbildung 2 und die Bandbreite in Abbildung 3 dargestellt.

AbbildungAbbildung 1: Schaltung im Simulator

AbbildungAbbildung 2: Amplituden- und Phasengang mit und ohne Messgerät

Abbildung

Abbildung 3: Bandbreite des gesamten Kreises mit HF-Voltmeter, normiert auf die Maximalspannung

Lösung:

siehe Lösungsweg