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Aufgabenstellung:

Die in Bild a dargestellte Schaltung enthält eine Spule mit der Induktivität sowie die Wirkwiderstände und . Die Versorgungsspannung hat den Wert . Der vorhandene Schalter wird im Zeitpunkt eingeschaltet.

Es ist der zeitliche Verlauf des Stromes zu ermitteln und grafisch darzustellen.

Bild: Schaltvorgang in einem ohmsch-induktiven Stromkreis:

Abbildung

a) Gegebene Schaltung, b) elektrisch gleichwertige Ersatzschaltung, c) zeitlicher Verlauf des in der Spule fließenden Stromes

Lösungsweg:

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Wir ersetzen zunächst die in Bild a aus der Spannungsquelle sowie den beiden Widerständen und bestehende Schaltung durch eine Ersatzspannungsquelle nach Bild b. Dabei betragen die Quellenspannung

und der Innenwiderstand

In Bild b gilt nach der Maschenregel

Mit und wird daraus

Wir verwenden den Ansatz

Den hierin enthaltenen stationären Strom finden wir aus der Überlegung, dass sich in Bild b (nach längerer Zeit) der Strom

einstellt. Für den Verlauf des freien Stromes lautet die Lösung in allgemeiner Form 

Hierbei beträgt die Zeitkonstante

Damit lautet die allgemeine Lösung für den Verlauf des Stromes

Zur Bestimmung der hierin enthaltenen Konstanten betrachten wir die Schaltung nach Bild a im Zeitpunkt In diesem Zeitpunkt (unmittelbar nach dem Schließen des Schalters) muss auch sein, da sich der Spulenstrom nicht sprunghaft ändern kann. Wir verwenden diese Anfangsbedingung und erhalten

Hieraus folgt

Dieses Ergebnis setzen wir ein und finden so den gesuchten zeitlichen Verlauf des Stromes als

In Bild c ist dieser zeitliche Verlauf dargestellt. Der Strom steigt also von Null aus nach einer e-Funktion mit der Zeitkonstanten auf an.

Lösung: