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Aufgabenstellung:

In der Schaltung nach Bild a soll der Kondensator mit der Kapazität über die Reihenschaltung einer Spule und eines Wirkwiderstandes aufgeladen werden. Die Induktivität der Spule beträgt Die Spannungsquelle liefert eine Gleichspannung von . Der Widerstand soll so gewählt werden, das der Aufladevorgang nach dem aperiodischen Grenzfall erfolgt.

a) Welchen Wert muss der Widerstand haben?

b) Es ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung für den aperiodischen Grenzfall zu ermitteln und grafisch darzustellen.

Abbildung

Bild Aufladen eines Kondensators nach dem aperiodischen Grenzfall. a) Gegebene Schaltung,
b) zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung

Lösungsweg:

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a) Es lautet  die Differenzialgleichung zur Bestimmung von

Zu deren Lösung wählen wir den Ansatz

Hierbei ist aus Bild  a ersichtlich, dass die stationäre Kondensatorspannung

beträgt. Für die freie Kondensatorspannung lautet die allgemeine Lösung

Hierbei lassen sich die Konstanten und bestimmen durch

Beim aperiodischen Grenzfall muss

sein. Hieraus erhalten wir den gesuchten Widerstand als

b) Wir erhalten die Doppelwurzel:

Beim vorliegenden aperiodischen Grenzfall lässt sich die angegebene Beziehung für umformen in

wobei

beträgt. Setzen wir die  Ergebnisse ein, so erhalten wir die allgemeine Lösung für die gesuchte Kondensatorspannung als

Die hierin enthaltenen Konstanten und ermitteln wir aus den Anfangsbedingungen. So ist im Zeitpunkt bei einem ungeladenen Kondensator
- ebenfalls . Setzen wir diese Bedingung ein, so ergibt sich

Hieraus folgt

Weiterhin muss im Zeitpunkt auch sein, weil die Spule eine sprunghafte Stromänderung nicht zulässt. Folglich muss wegen im Zeitpunkt ebenfalls sein. Wir differenzieren daher  nach und erhalten

Durch Einsetzen der Werte für ergibt sich

Hieraus folgt

Setzen wir die gefundenen Werte ein, so erhalten wir die endgültige Lösung für die gesuchte Kondensatorspannung als

In Bild  b ist dieser zeitliche Verlauf grafisch dargestellt.

Lösung: