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Aufgabenstellung:

Gegeben ist untenstehende Schaltung mit den Werten:

Abbildung

a) Es ist das vollständige Zeigerdiagramm aller Ströme und Spannungen bei der Frequenz zu zeichnen, bei der und betragsmäßig gleich sind. Der Maßstab ist so zu wählen, dass der Zeiger für , und der für lang ist. , Urspr.: Mitte, nach rechts)

b) Welches Spannungsteilerverhältnis hat die Schaltung und welche Phasenlage hat bezüglich ?

c) Mit welcher Impedanz (Betrag und Phasenwinkel) wird ein an angeschlossener Generator belastet?

Lösungsweg:

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a) Zeigerdiagramm

Beide betragsmäßig gleich bedeutet:

.

Hieraus erhält man die Gleichung, aus der sich die Frequenz bestimmen lässt:

Einsetzen der Zahlenwerte ergibt:

Mit dieser Frequenz erhält man die beiden Scheinwiderstände und :

Gegeben:

Annahme: für die Spannung

d.h.

Mit der vorgegebenen Länge von gleiche Richtung wie erhält man den Strommaßstab: .

Die Zeigerlängen von und :

gleiche Richtung wie ,   nacheilend.

Die Ausgangsspannung ist die vektorielle Addition der beiden Spannungen und .

Man liest im Zeigerdiagramm die Länge ab:
(auch Satz des Pythagoras möglich: )

ebenfalls ablesen (oder Satz des Pythagoras):

Konstruktion

Zur Konstruktion der Spannungen und Ströme in und muss der Thaleskreis gezeichnet werden.

Da durch und der gleiche Strom fließt, und die Spannung an um voreilt, weiß man, dass und senkrecht aufeinander stehen.

Die vektorielle Summe ist .

Daher Thaleskreis über schlagen. (Siehe unten stehende Teilskizze):

Abbildung

Für die Spannungen und und kann folgende Aussage getroffen werden:

(Pythagoras) oder (Spannungen durch Ströme ersetzen)

Nach dem Strom auflösen:

Einsetzen der Zahlenwerte ergibt:

Die Spannung über ist dann .

Mit dem Längenmaßstab ergibt sich .

Konstruktion

Vom Koordinatennullpunkt wird also ein Kreisbogen mit der Länge geschlagen.

Wo dieser Bogen den Thaleskreis schneidet, ist der Zielpunkt von .

In der gleichen Richtung, in der die Spannung gezeichnet wurde, kann jetzt der Strom (Wert = 2 mA, mit Strommaßstab:Länge ) eingezeichnet werden.

Die Spannung steht senkrecht auf .

Man liest ab .

Der Eingangsstrom ergibt sich als vektorielle Addition der beiden Zeiger und .

Es zeigt sich, dass die Richtung des Stromes und der Spannung identisch ist.

Man liest die Länge ab:

Länge mit Strommaßstab:

b) Spannungsverhältnis und Phasenlage

Vorher ermittelt:

Phasenlage (siehe Zeigerdiagramm):

ist gegenüber um nacheilend.

c) Impedanz

Da und in Phase: Impedanz ist reell

.

Vollständiges Zeigerdiagramm

Abbildung

Ergänzung zur Aufgabenstellung

Mit einfacher komplexer Berechnung lässt sich zeigen, dass reell ist

Auf einen Hauptnenner bringen:

Da voraussetzungsgemäß die beiden Blindwiderstände gleich sind ; ), verschwindet der Imaginärteil des Zählers und die beiden Ausdrücke in der runden Klammer im Nenner werden konjugiert.

Damit wird

Lösung:

siehe Lösungsweg