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Aufgabenstellung:

AbbildungDie dargestellte Rolle besteht aus zwei fest miteinander verbundenen, homogenen Zylindern der Breite und Dichte Sie rollt ohne abzuheben und ohne zu gleiten auf einer horizontalen Ebene. Am inneren Radius wird über ein Seil mit einer konstanten Kraft gezogen.

Bestimmen Sie die kürzest mögliche Zeit , in der die Rolle aus dem Stillstand eine vorgegebene Strecke in positiver Richtung zurücklegt, sowie den Winkel , den die Kraft mit der Horizontalen hierfür bilden muss.

Gegeben:

Lösungsweg:

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Die polaren Massenträgheitsmomente der beiden Rollen um ihren Mittelpunkt M betragen

Momentanpol ihrer Bewegung ist der Kontaktpunkt mit der Ebene. Also werden die Trägheitsmomente um den Abstand mit dem Satz von Steiner transformiert.

Abbildung

Mit

ergibt sich

Aus dem Momentengleichgewicht in der Form von D'Alembert um ergibt sich

wobei der Hebelarm der Kraft zum ist.

ergibt sich aus der Geometrie der zwei rechtwinkligen Dreiecken

Eliminieren von y liefert

Die Kinematik für den Mittelpunkt bei Drehung um den Momentanpol lautet

Letztere zwei Beziehungen werden in das Momentengleichgewicht eingesetzt und nach der Beschleunigung umgeformt:

Aus der Beschleunigung lässt sich der Weg durch doppelte Integration berechnen

Für die Strecke ergibt sich die gesuchte Zeit (nur positive Lösung sinnvoll)

Damit minimal wird, muss maximal werden, also Die minimale Zeit ist

Lösung: