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Aufgabenstellung:

AbbildungGegeben ist das dargestellte ungedämpfte ebene Stabwerk, das mit einer Punktmasse im Knoten II belegt ist.

  1. Geben Sie die Gesamtsteifigkeitsmatrix und die Massenmatrix unter Vernachlässigung aller Stabmassen an
  2. Berechnen Sie die Eigenfrequenzen des Systems.

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Gesamtsteifigkeitsmatrix und Massenmatrix

Freikörperbild

AbbildungDie grünen Koordinatensysteme sind die globalen Koordinaten bzw und die blauen die jeweiligen lokalen Koordinatensysteme der einzelnen Stäbe. Sie zeigen die lokale Verdrehung gegenüber den globalen Koordinaten auf.
Die lokalen Koordinatensysteme für die Lagerungen wurden hier aufgrund fehlender Verschiebung bereits weg gelassen.

Stab 1

Lokale Steifigkeitsmatrix ist gleich der globalen Steifigkeitsmatrix

Stab 3

Lokale Steifigkeitsmatrix ist gleich der globalen Steifigkeitsmatrix

Stab 2

Das lokale Koordinaten System ist gegenüber dem globalen Koordinatensystem um gedreht. Es gilt

Transformationsmatrix:

Lokale Steifigkeitsmatrix

    mit  

Globale Steifigkeitsmatrix:

Stab 4

Im Gegensatz zu den Stäben verschieben sich die beiden Enden bei Stab 4 und man erhält eine Transformationsmatrix für eine Verdrehung und eine lokale Steifigkeitsmatrix.

Teil-Transformationsmatrizen:

Transformationsmatrix:

lokale Steifigkeitsmatrix:

Globale Steifigkeitsmatrix:

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix ergibt sich aus der Summation der einzelnen Steifigkeitsmatrizen

Dafür müssen und mit entsprechenden Nullspalten und -zeilen für die Verschiebungen und aufgefüllt werden. Entsprechendes gilt für für die globalen Verschiebungen und

Die globale Massenmatrix lautet

Da die Massenmatrix zwei Nullzeilen enthält, kann aus den entsprechenden Zeilen der Steifigkeitsmatrix die Kinematik zwischen den Koordinaten und abgeleitet werden

Mit diesen Gleichungen in die beiden unteren Spalten von eingesetzt, lässt sich diese auf eine Matrix reduzieren

b) Eigenfrequenzen des Systems

Die Bewegungsgleichung des Massepunktes in lautet

Die Eigenfrequenzen und Eigenvektoren können aus der Lösung des Eigenwertproblems bestimmt werden

Daraus folgt das charakteristische Polynom

mit den Eigenfrequenzen

Lösung: