KIT - Klausuren - TM3

TUHH-TM3

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[<br />\left[\begin{array}{ll}0 &amp; 0 \\ 0 &amp; M\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}\ddot{x}_{1} \\ \ddot{x}_{2}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}\frac{3 \cdot E I}{l^{3}}+c &amp; -c \\ -c &amp; c\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot m \cdot r \cdot \Omega^{2} \\ 0\end{array}\right\} \sin \Omega t <br />\]</li>
<li>\[c=\Omega^{2} \cdot M\]</li>
</ol>

<p>Aufstellen der Bewegungsgleichung:</p>


<p>\[<br />\frac{3 \cdot E I}{l^{3}} \cdot x_{1}-c\left(x_{2}-x_{1}\right)=2 \cdot m \cdot r \cdot \Omega^{2} \cdot \sin \Omega t <br />\]</p>


<p>\[<br />M \cdot \ddot{x}_{2}+c\left(x_{2}-x_{1}\right)=0 <br />\]</p>


<p>\[<br />\left[\begin{array}{ll}0 &amp; 0 \\ 0 &amp; M\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}\ddot{x}_{1} \\ \ddot{x}_{2}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}\frac{3 \cdot E I}{l^{3}}+c &amp; -c \\ -c &amp; c\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot m \cdot r \cdot \Omega^{2} \\ 0\end{array}\right\} \sin \Omega t <br />\]</p>


<p>b) <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" c " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-246-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJX-246-TEX-I-1D450"></use></g></g></g></svg></mjx-container> bestimmen</p>


<p>\[<br />A_{1}=\left[\bar{K}-\Omega^{2} \bar{M}\right] \cdot \hat{\vec{x}}_{P}=\vec{F}_{0} <br />\]</p>


<p>\[<br />\left[\begin{array}{cc}\frac{3 \cdot E I}{l^{3}}+c &amp; -c \\ -c &amp; c-\Omega^{2} \cdot M\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}\hat{x}_{1 P} \\ \hat{x}_{2 P}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot m \cdot r \cdot \Omega^{2} \\ 0\end{array}\right\} \sin \Omega t <br />\]</p>


<p>Berechnen der Inversen nach Cramer</p>


<p>\[<br />\Delta=\operatorname{det}|A| \quad \Delta_{i}=\operatorname{det} |A_{i}|<br />\]</p>


<p>\[<br />\Delta=\left(\frac{3 \cdot E I}{l^{3}}+c\right) \cdot\left(c-\Omega^{2} \cdot M\right)-c^{2} <br />\]</p>


<p>\[<br />A_{1}=\left[\begin{array}{cc}2 \cdot m \cdot r \cdot \Omega^{2} &amp; -c \\ 0 &amp; c-\Omega^{2} \cdot M\end{array}\right] <br />\]</p>
<p>\[<br />\quad \Rightarrow \operatorname{det}\left|A_{1}\right|=2 \cdot m \cdot r \cdot \Omega^{2} \cdot\left(c-\Omega^{2} \cdot M\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />A_{2}=\left[\begin{array}{cc}<br />\frac{3 \cdot E I}{l^{3}}+c &amp; 2 \cdot m \cdot r \cdot \Omega^{2} \\<br />-c &amp; 0<br />\end{array}\right]<br />\]</p>
<p>\[<br />\quad \Rightarrow \operatorname{det}\left|A_{2}\right|=2 \cdot m \cdot r \cdot \Omega^{2} \cdot c <br />\]</p>


<p>\[<br />x_{1 P}=\frac{\operatorname{det}\left(A_{1}\right)}{\operatorname{det}(A)}=\frac{2 \cdot m \cdot r \cdot \Omega^{2} \cdot\left(c-\Omega^{2} \cdot M\right)}{\Delta}<br />\]</p>
<p>\[<br />x_{2 P}=\frac{\operatorname{det}\left(A_{2}\right)}{\operatorname{det}(A)}=\frac{2 \cdot m \cdot r \cdot \Omega^{2} \cdot c}{\Delta} <br />\]</p>


<p>\[<br />\left(c-\Omega^{2} \cdot M\right)=0 \quad \Rightarrow x_{1 P}=0 <br />\]</p>


<p>\[<br />c=\Omega^{2} \cdot M <br />\]</p>

<p><img style="width: 50%; height: auto; float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/607e64a05f0da69d7667613e.png" alt="Abbildung" width="362" height="255" />Ein masseloser elastischer Stab $(EI)$ mit der Länge $ l $ ist einseitig starr gelagert. An seinem freien Ende rotieren zwei gleich große Massen $ m $ im Abstand $ r $ gegeneinander mit der Winkelgeschwindigkeit $ \Omega $.</p>
<p>Weiterhin ist über eine Feder $ c $ eine Masse $M$ angebunden.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li class="horizontalLayoutText">Stellen Sie die Bewegungsgleichungen unter Verwendung der angegebenen Koordinaten auf.</li>
<li class="horizontalLayoutText">Bestimmen Sie $ c $ unter der Bedingung, dass der Balken in Ruhe bleibt.</li>
</ol>
<p class="horizontalLayoutText"><strong>Gegeben:</strong></p>
<p class="horizontalLayoutText">Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmoment des Balkens $EI$; rotierende Massen $ m $; Radius $ r $; Masse $M$; Federsteifigkeit $ c $; Stablänge $ l $; Bewegung der Massen $ m $ mit $ \Omega t $</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: TUHH-TM3 mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: