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Aufgabenstellung:

AbbildungAn den Enden von zwei Pendel der Gesamtlängen (Masse vernachlässigbar) sind jeweils die Punktmassen und befestigt. Die Pendel sind an den Radien miteinander durch einer Feder der Steifigkeit verbunden, die entspannt ist wenn bei Pendel vertikal sind . An der Masse wirkt eine Sinusförmige Anregungskraft .

  1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die generalisierten Koordinaten der Zeichnung unter der Voraussetzung kleiner Winkel der Pendel auf.
  2. Welche Bedingung muss für erfüllt sein, damit die Auslenkungen der Masse verschwinden (Tilgung)?

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Bewegungsgleichung

Kinetische Energie der Massen

Potentielle Energie der Massen

Potentielle Energie der Feder

Die Lagrange Funktion ist dann

Aus der Euler-Lagrange-Gleichung ergeben sich die unlinearisierzten Bewegungsgleichungen

Linearisiert (da sehr klein) ergibt sich aus diesen folgende Matrixform:

b) Bedingung  für damit Auslenkungen der Masse verschwinden (Tilgung)

Partikulärlösung (stationäre Schwingungsantwort bei harmonischer Anregung )

Ansatz vom Typ der rechten Seite in die Bewegungsgleichung ergibt

Lösung des Gleichungssystems nach Cramer:

Bei Tilgung ist

Lösung:

  1. Siehe Lösungsweg.