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Aufgabenstellung:

AbbildungEin Maschinenteil (starrer Balken) der Masse wird durch ein Förderband transportiert.

Vier identische lineare Federn der Steifigkeit tragen den Balken. Dabei wirkt eine sinusförmige Kraft auf dem Ende des Balkens.

  1. Stellen Sie die Bewegungsgleichungen bezüglich der dargestellten
    generalisierten Koordinaten und auf.
  2. Berechnen Sie die Eigenfrequenzen und Eigenformen des Systems.

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Bewegungsgleichungen

Kinematik des Systems:

Abbildung

Trägheitsmoment des Balkens:

Das Freikörperbild des Balkens mit den virtuellen Verrückungen sieht so aus:

Abbildung

Arbeitsansatz für die virtuelle Arbeit lautet:

Damit diese Gleichungen stimmen müssen die Koeffizienten von und Null sein.

Damit haben wir zwei Bewegungsgleichungen:

b) Eigenfrequenzen und Eigenformen

Die Bewegungsgleichungen kann man in der Matrizenform so darstellen:

Beziehungsweise :

Die Eigenvektoren und die Eigenfrequenzen folgen aus

Wobei die Einheitsmatrix ist.

Damit sind die Eigenfrequenzen:

Die Eigenwerte wieder einsetzen und die Eigenvektoren berechnen:

Lösung:

  1.