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Aufgabenstellung:

AbbildungEin Keil besteht aus drei dünnen starren Stäben des Querschnitts und der Dichte . Er ist an einer Ecke drehbar gelagert, an der zweiten mittels einer Feder der Steifigkeit befestigt und wird an der dritten Ecke von einer sinusförmigen Kraft angeregt.

  1. Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung als Funktion des Winkels .
  2. Bei welcher Kreisfrequenz wird die Schwingungsamplitude maximal?
  3. Bestimmen Sie den Bereich von , in dem die Feder eine maximale Längenänderung nicht überschreitet.


Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Bewegungsgleichung

Das gesamte Massenträgheitsmoment besteht aus den Trägheitsmomenten der Stäbe und den Anteilen deren Parallelverschiebungen zum Drehpunkt:

Die Bewegungsgleichung lässt sich durch Momentengleichgewicht nach D' Alembert herleiten:

Abbildung

b) Kreisfrequenz bri maximaler Schwingungsamplitude

Das System lässt sich kompakt Schreiben : 

mit

und

folgt

Das System wird für mit der Anregungsfrequenz schwingen. Die Eigenbewegungen (Eigenschwingungsverhalten) klingt ab. Spezielle Lösung für , mittels Ansatz vom Typ der rechten Seite ergibt sich

Aus der Lösung ist ersichtlich dass die Amplitude bei maximal wird, also

c) Bereich von , in dem die Feder eine maximale Längenänderung nicht überschreitet.

Aus der Kinematik gilt

Untersuchung/Interpretation der Ungleichung

  • Wenn muss die linke Ungleichung erfüllt sein also
  • Wenn muss die rechte Ungleichung erfüllt sein also

 also insgesamt

oder

Lösung:

  1.  
  2.  
  3. oder