KIT - Klausuren - TM2

TM 2 Sammlung

TUHH-TM2

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

<p>\(\sigma_{\text {Zugmax}}=\frac{3 \mathrm{~F} \mathrm{a}}{\mathrm{b}^{3}}-\frac{2 \mathrm{Fa}^{2}\left(\frac{3 \mathrm{a}}{\mathrm{b}^{3}}+\frac{1}{2 \mathrm{~b}^{2}}\right)}{\frac{\mathrm{E}_{\mathrm{B}} \mathrm{b}^{4}}{(\mathrm{EA})_{\text {Stab }}}+\frac{\sqrt{2} \mathrm{E}_{\mathrm{B}} \mathrm{b}^{4}}{(\mathrm{E} \mathrm{A})_{\text {Seil }}}+2 \mathrm{a}^{2}}\]</p>

<p>Das System ist überbestimmt. Zur Berechnung der inneren Kräfte und Momente muss der Gemischtverband zerlegt werden. (Skizze)</p>


<p>Koppelbedingung: Die Absenkung $w$ des Balkens im Stabangriffspunkt (Syst. I) muss gleich der Verschiebung $ \delta $ des Stabangriffspunkts im System II sein.</p>


<p>Koppelbedingung: Die Absenkung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="w" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.62ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 716 454" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4497-TEX-I-1D464" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D464" xlink:href="#MJX-4497-TEX-I-1D464"></use></g></g></g></svg></mjx-container> des Balkens im Stabangriffspunkt (Syst. I) muss gleich der Verschiebung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \delta " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.005ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -717 444 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4498-TEX-I-1D6FF" d="M195 609Q195 656 227 686T302 717Q319 716 351 709T407 697T433 690Q451 682 451 662Q451 644 438 628T403 612Q382 612 348 641T288 671T249 657T235 628Q235 584 334 463Q401 379 401 292Q401 169 340 80T205 -10H198Q127 -10 83 36T36 153Q36 286 151 382Q191 413 252 434Q252 435 245 449T230 481T214 521T201 566T195 609ZM112 130Q112 83 136 55T204 27Q233 27 256 51T291 111T309 178T316 232Q316 267 309 298T295 344T269 400L259 396Q215 381 183 342T137 256T118 179T112 130Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D6FF" xlink:href="#MJX-4498-TEX-I-1D6FF"></use></g></g></g></svg></mjx-container> des Stabangriffspunkts im System II sein.</p>


<p>\[\mathrm{w}=\frac{\mathrm{F}^{*} \ell^{3}}{48 \ \mathrm{E}_{\mathrm{B}} \mathrm{I}} \]</p>
<p>mit \( \ell=2 \mathrm{a} ;\ \mathrm{I}=\frac{\mathrm{b}^{4}}{12} ;\ \mathrm{F}^{*}=(\mathrm{F}-\mathrm{X})\]</p>
<p>\[\Rightarrow \mathrm{w}=\frac{(\mathrm{f}-\mathrm{X})(2 a)^{3}}{48 \mathrm{E}_{\mathrm{B}} \frac{b^{4}}{12}}=2 \frac{(\mathrm{F}-\mathrm{X}) a^{3}}{\mathrm{E}_{B} b^{4}}\]</p>


<p>Mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit</p>


<p>\[<br />\delta=\frac{1}{\mathrm{X}} \sum \frac{\mathrm{S}_{\mathrm{i}}^{2} \ell_{\mathrm{i}}}{(\mathrm{EA})_{\mathrm{i}}} <br />\]</p>


<p>Bestimmung der Stab- und Seilkräfte</p>


<p>\[<br />\mathrm{S}_{\text {Stab }} =\mathrm{X} ; \quad \mathrm{S}_{\text {Seil1 }}=\mathrm{S}_{\text {Seil2 }}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{X} \ (\text {Symmetrie}) \]</p>


<p>\[ \begin{align}<br />\Rightarrow \delta &amp;=\frac{1}{\mathrm{X}}\left(\frac{\mathrm{X}^{2} a}{(\mathrm{E A})_{\text {Stab }}}+2 \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{X} \right)^{2} \sqrt{2} a}{(\mathrm{E A})_{\text {Seil }}}\right) \\\\<br />&amp;=\mathrm{X}\left(\frac{a}{(\mathrm{E A})_{\text {Stab }}}+\frac{\sqrt{2} a}{(\mathrm{\mathrm{E A}})_{\text {Seil }}}\right)<br />\end{align} \]</p>


<p>Mit der Koppelbedingung $ \mathrm{w}=\delta $ ergibt sich $ \mathrm{X} $ zu:</p>


<p>Mit der Koppelbedingung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{w}=\delta " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.655ex" height="1.808ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -717 2499.6 799" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4505-TEX-N-77" d="M90 368Q84 378 76 380T40 385H18V431H24L43 430Q62 430 84 429T116 428Q206 428 221 431H229V385H215Q177 383 177 368Q177 367 221 239L265 113L339 328L333 345Q323 374 316 379Q308 384 278 385H258V431H264Q270 428 348 428Q439 428 454 431H461V385H452Q404 385 404 369Q404 366 418 324T449 234T481 143L496 100L537 219Q579 341 579 347Q579 363 564 373T530 385H522V431H529Q541 428 624 428Q692 428 698 431H703V385H697Q696 385 691 385T682 384Q635 377 619 334L559 161Q546 124 528 71Q508 12 503 1T487 -11H479Q460 -11 456 -4Q455 -3 407 133L361 267Q359 263 266 -4Q261 -11 243 -11H238Q225 -11 220 -3L90 368Z"></path><path id="MJX-4505-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-4505-TEX-I-1D6FF" d="M195 609Q195 656 227 686T302 717Q319 716 351 709T407 697T433 690Q451 682 451 662Q451 644 438 628T403 612Q382 612 348 641T288 671T249 657T235 628Q235 584 334 463Q401 379 401 292Q401 169 340 80T205 -10H198Q127 -10 83 36T36 153Q36 286 151 382Q191 413 252 434Q252 435 245 449T230 481T214 521T201 566T195 609ZM112 130Q112 83 136 55T204 27Q233 27 256 51T291 111T309 178T316 232Q316 267 309 298T295 344T269 400L259 396Q215 381 183 342T137 256T118 179T112 130Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="77" xlink:href="#MJX-4505-TEX-N-77"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(999.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-4505-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2055.6,0)"><use data-c="1D6FF" xlink:href="#MJX-4505-TEX-I-1D6FF"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt sich <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{X} " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 750 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4506-TEX-N-58" d="M270 0Q252 3 141 3Q46 3 31 0H23V46H40Q129 50 161 88Q165 94 244 216T324 339Q324 341 235 480T143 622Q133 631 119 634T57 637H37V683H46Q64 680 172 680Q297 680 318 683H329V637H324Q307 637 286 632T263 621Q263 618 322 525T384 431Q385 431 437 511T489 593Q490 595 490 599Q490 611 477 622T436 637H428V683H437Q455 680 566 680Q661 680 676 683H684V637H667Q585 634 551 599Q548 596 478 491Q412 388 412 387Q412 385 514 225T620 62Q628 53 642 50T695 46H726V0H717Q699 3 591 3Q466 3 445 0H434V46H440Q454 46 476 51T499 64Q499 67 463 124T390 238L353 295L350 292Q348 290 343 283T331 265T312 236T286 195Q219 88 218 84Q218 70 234 59T272 46H280V0H270Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="58" xlink:href="#MJX-4506-TEX-N-58"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> zu:</p>


<p>\[2 \frac{(\mathrm{F}-\mathrm{X}) \mathrm{a}^{3}}{\mathrm{E}_{\mathrm{B}} \mathrm{b}^{4}}=\mathrm{X}\left(\frac{\mathrm{a}}{(\mathrm{E} \mathrm{A})_{\text {Stab }}}+\frac{\sqrt{2} \mathrm{a}}{(\mathrm{EA})_{\text {Seil }}}\right) \]</p>


<p>\[\Rightarrow \quad \mathrm{X}=\frac{2 \mathrm{Fa}^{2}}{\frac{\mathrm{E}_{\mathrm{B}} \mathrm{b}^{4}}{(\mathrm{EA})_{\text {Stab }}}+\frac{\sqrt{2} \mathrm{E}_{\mathrm{B}} \mathrm{b}^{4}}{(\mathrm{EA})_{\text {Seil }}}+2 \mathrm{a}^{2}}<br />\]</p>


<p>Die maximal auftretende Zugspannung ergibt sich aus der Überlagerung der Normalkraft N (aufgrund der Seilkräfte / Knotengleichgewicht am Loslager) und des maximalen Biegemomentes $ \mathrm{M}_{\max } $</p>


<p>Die maximal auftretende Zugspannung ergibt sich aus der Überlagerung der Normalkraft N (aufgrund der Seilkräfte / Knotengleichgewicht am Loslager) und des maximalen Biegemomentes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{M}_{\max } " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.24ex" height="1.902ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2315.9 840.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4509-TEX-N-4D" d="M132 622Q125 629 121 631T105 634T62 637H29V683H135Q221 683 232 682T249 675Q250 674 354 398L458 124L562 398Q666 674 668 675Q671 681 683 682T781 683H887V637H854Q814 636 803 634T785 622V61Q791 51 802 49T854 46H887V0H876Q855 3 736 3Q605 3 596 0H585V46H618Q660 47 669 49T688 61V347Q688 424 688 461T688 546T688 613L687 632Q454 14 450 7Q446 1 430 1T410 7Q409 9 292 316L176 624V606Q175 588 175 543T175 463T175 356L176 86Q187 50 261 46H278V0H269Q254 3 154 3Q52 3 37 0H29V46H46Q78 48 98 56T122 69T132 86V622Z"></path><path id="MJX-4509-TEX-N-6D" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q351 442 364 440T387 434T406 426T421 417T432 406T441 395T448 384T452 374T455 366L457 361L460 365Q463 369 466 373T475 384T488 397T503 410T523 422T546 432T572 439T603 442Q729 442 740 329Q741 322 741 190V104Q741 66 743 59T754 49Q775 46 803 46H819V0H811L788 1Q764 2 737 2T699 3Q596 3 587 0H579V46H595Q656 46 656 62Q657 64 657 200Q656 335 655 343Q649 371 635 385T611 402T585 404Q540 404 506 370Q479 343 472 315T464 232V168V108Q464 78 465 68T468 55T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-4509-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 320T63 359Q63 394 97 421T218 448Q291 448 336 416T396 340Q401 326 401 309T402 194V124Q402 76 407 58T428 40Q443 40 448 56T453 109V145H493V106Q492 66 490 59Q481 29 455 12T400 -6T353 12T329 54V58L327 55Q325 52 322 49T314 40T302 29T287 17T269 6T247 -2T221 -8T190 -11Q130 -11 82 20T34 107Q34 128 41 147T68 188T116 225T194 253T304 268H318V290Q318 324 312 340Q290 411 215 411Q197 411 181 410T156 406T148 403Q170 388 170 359Q170 334 154 320ZM126 106Q126 75 150 51T209 26Q247 26 276 49T315 109Q317 116 318 175Q318 233 317 233Q309 233 296 232T251 223T193 203T147 166T126 106Z"></path><path id="MJX-4509-TEX-N-78" d="M201 0Q189 3 102 3Q26 3 17 0H11V46H25Q48 47 67 52T96 61T121 78T139 96T160 122T180 150L226 210L168 288Q159 301 149 315T133 336T122 351T113 363T107 370T100 376T94 379T88 381T80 383Q74 383 44 385H16V431H23Q59 429 126 429Q219 429 229 431H237V385Q201 381 201 369Q201 367 211 353T239 315T268 274L272 270L297 304Q329 345 329 358Q329 364 327 369T322 376T317 380T310 384L307 385H302V431H309Q324 428 408 428Q487 428 493 431H499V385H492Q443 385 411 368Q394 360 377 341T312 257L296 236L358 151Q424 61 429 57T446 50Q464 46 499 46H516V0H510H502Q494 1 482 1T457 2T432 2T414 3Q403 3 377 3T327 1L304 0H295V46H298Q309 46 320 51T331 63Q331 65 291 120L250 175Q249 174 219 133T185 88Q181 83 181 74Q181 63 188 55T206 46Q208 46 208 23V0H201Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4D" xlink:href="#MJX-4509-TEX-N-4D"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(950,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="6D" xlink:href="#MJX-4509-TEX-N-6D"></use><use data-c="61" xlink:href="#MJX-4509-TEX-N-61" transform="translate(833,0)"></use><use data-c="78" xlink:href="#MJX-4509-TEX-N-78" transform="translate(1333,0)"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Das maximale Biegemoment tritt in der Balkenmitte auf</p>


<p>\[\sigma_{\text {Zugmax }}=\frac{\left|\mathrm{M}_{\max }\right|}{\mathrm{W}}-\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}} \]</p>


<p>mit \[\mathrm{M}_{\max }=\frac{1}{2}(\mathrm{F}-\mathrm{X}) \mathrm{a} ; \quad \mathrm{W}=\frac{\mathrm{b}^{3}}{6} ; \quad \mathrm{A}=\mathrm{b}^{2} ; \quad \mathrm{N}=\frac{1}{2} \mathrm{X} <br />\]</p>


<p>\begin{align}<br />\sigma_{\text {Zugmax}}&amp;=\frac{\frac{1}{2}(\mathrm{~F}-\mathrm{X}) \mathrm{a}}{\frac{\mathrm{b}^{3}}{6}}-\frac{\frac{1}{2} \mathrm{X}}{\mathrm{b}^{2}}\\\\<br />&amp;=\frac{3 \mathrm{~F} \mathrm{a}}{\mathrm{b}^{3}}-\mathrm{X}\left(\frac{3 \mathrm{a}}{\mathrm{b}^{3}}+\frac{1}{2 \mathrm{~b}^{2}}\right)\\\\ <br />&amp;=\frac{3 \mathrm{~F} \mathrm{a}}{\mathrm{b}^{3}}-\frac{2 \mathrm{Fa}^{2}\left(\frac{3 \mathrm{a}}{\mathrm{b}^{3}}+\frac{1}{2 \mathrm{~b}^{2}}\right)}{\frac{\mathrm{E}_{\mathrm{B}} \mathrm{b}^{4}}{(\mathrm{EA})_{\text {Stab }}}+\frac{\sqrt{2} \mathrm{E}_{\mathrm{B}} \mathrm{b}^{4}}{(\mathrm{E} \mathrm{A})_{\text {Seil }}}+2 \mathrm{a}^{2}}<br />\end{align}</p>

<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/607c49bbb383901d1d7df646.png" alt="Abbildung" /></p>
<p>Der in der Skizze dargestellte Gemischtverband aus einem Balken (Länge $ 2 \mathrm{a} $, Elastizitätsmodul $ \mathrm{E}_{\mathrm{B}} $, Querschnitt: siehe Skizze), einem Stab $(\mathrm{EA}) _{\text {Stab}}$ und zwei Seilen $(\mathrm{EA})_{\text{Seil}}$ wird mit einer Kraft $ \mathrm{F} $ belastet.</p>
<p>Bestimmen Sie die im Balken maximal auftretende Zugspannung $ \sigma_{Z u g \max } . $</p>
<p> </p>
<p><strong>Gegeben: </strong>\[\varphi=45^{\circ},\ \mathrm{a},\ \mathrm{b},\ \mathrm{E}_{\mathrm{B}},\ \mathrm{F},\ (\mathrm{EA})_{\text {stab}}, \ (\mathrm{EA})_{\text {seil }}\]</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: TUHH-TM2 mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

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