KIT - Klausuren - TM2

TM 2 Sammlung

TUHH-TM2

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>$C_{\text {ges }}=\left[\begin{array}{ccc}<br />4 c &amp; 0 &amp; -4 a c \\<br />0 &amp; 4 c &amp; 4 b c \\<br />-4 a c &amp; 4 b c &amp; 8 c\left(a^{2}+b^{2}\right)<br />\end{array}\right]$<br /><br /></li>
<li>\[\mathrm{x}=\frac{10 \cdot \mathrm{Fa}-\mathrm{M}}{40 \cdot \mathrm{ca}}; \quad \mathrm{y}=\frac{3 \cdot \mathrm{M}-10 \cdot \mathrm{amg}}{40 \cdot \mathrm{ca}};  \quad \varphi=\frac{-\mathrm{M}}{40 \cdot \mathrm{ca}^{2}}\]</li>
</ol>

<p>Generalisierte Koordinaten (Ursprung in $ \mathrm{P})$:</p>


<p>Generalisierte Koordinaten (Ursprung in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{P})" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.421ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1070 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3779-TEX-N-50" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H214Q237 683 276 683T331 684Q419 684 471 671T567 616Q624 563 624 489Q624 421 573 372T451 307Q429 302 328 301H234V181Q234 62 237 58Q245 47 304 46H337V0H326Q305 3 182 3Q47 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM507 488Q507 514 506 528T500 564T483 597T450 620T397 635Q385 637 307 637H286Q237 637 234 628Q231 624 231 483V342H302H339Q390 342 423 349T481 382Q507 411 507 488Z"></path><path id="MJX-3779-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="50" xlink:href="#MJX-3779-TEX-N-50"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(681,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-3779-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\[\quad \overrightarrow{\mathrm{q}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x} \\ \mathrm{y} \\ \varphi\end{array}\right\} \)</p>


<p>Bewegung in den einzelnen Punkten</p>


<p>\[<br />\left\{\begin{array}{l}<br />\mathrm{x}_{\mathrm{s}} \\<br />\mathrm{y}_{\mathrm{s}} \\<br />\varphi_{\mathrm{S}}<br />\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; -\mathrm{a} \\<br />0 &amp; 1 &amp; \mathrm{~b} \\<br />0 &amp; 0 &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}<br />\mathrm{x} \\<br />\mathrm{y} \\<br />\varphi<br />\end{array}\right\}<br />\]</p>


<p>\[\left\{\begin{array}{l}<br />\mathrm{x}_{\mathrm{A}} \\<br />\mathrm{y}_{\mathrm{A}} \\<br />\varphi_{\mathrm{A}}<br />\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; -\mathrm{a} \\<br />0 &amp; 1 &amp; 2 \mathrm{a} \\<br />0 &amp; 0 &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}<br />\mathrm{x} \\<br />\mathrm{y} \\<br />\varphi<br />\end{array}\right\}\]</p>


<p>\[<br />\left\{\begin{array}{l}<br />\mathrm{x}_{1} \\<br />\mathrm{y}_{1} \\<br />\varphi_{1}<br />\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; -2 \mathrm{a} \\<br />0 &amp; 1 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}<br />\mathrm{x} \\<br />\mathrm{y} \\<br />\varphi<br />\end{array}\right\}<br />\]</p>


<p>\[\left\{\begin{array}{l}<br />\mathrm{x}_{2} \\<br />\mathrm{y}_{2} \\<br />\varphi_{2}<br />\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; -2 \mathrm{a} \\<br />0 &amp; 1 &amp; 2 \mathrm{~b} \\<br />0 &amp; 0 &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}<br />\mathrm{x} \\<br />\mathrm{y} \\<br />\varphi<br />\end{array}\right\}\]</p>


<p>\[<br />\left\{\begin{array}{l}<br />\mathrm{x}_{3} \\<br />\mathrm{y}_{3} \\<br />\varphi_{3}<br />\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 1 &amp; 2 \mathrm{~b} \\<br />0 &amp; 0 &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}<br />\mathrm{x} \\<br />\mathrm{y} \\<br />\varphi<br />\end{array}\right\}<br />\]</p>


<p>Berechnung der Potenziale in lokalen Koordinaten $ \left(\delta \Pi_{\mathrm{A}}=\delta \Pi_{\mathrm{S}}=0\right) $</p>


<p>Berechnung der Potenziale in lokalen Koordinaten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(\delta \Pi_{\mathrm{A}}=\delta \Pi_{\mathrm{S}}=0\right) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.793ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7422.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3786-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-3786-TEX-I-1D6FF" d="M195 609Q195 656 227 686T302 717Q319 716 351 709T407 697T433 690Q451 682 451 662Q451 644 438 628T403 612Q382 612 348 641T288 671T249 657T235 628Q235 584 334 463Q401 379 401 292Q401 169 340 80T205 -10H198Q127 -10 83 36T36 153Q36 286 151 382Q191 413 252 434Q252 435 245 449T230 481T214 521T201 566T195 609ZM112 130Q112 83 136 55T204 27Q233 27 256 51T291 111T309 178T316 232Q316 267 309 298T295 344T269 400L259 396Q215 381 183 342T137 256T118 179T112 130Z"></path><path id="MJX-3786-TEX-N-3A0" d="M128 619Q121 626 117 628T101 631T58 634H25V680H724V634H691Q651 633 640 631T622 619V61Q628 51 639 49T691 46H724V0H713Q692 3 569 3Q434 3 425 0H414V46H447Q489 47 498 49T517 61V634H232V348L233 61Q239 51 250 49T302 46H335V0H324Q303 3 180 3Q45 3 36 0H25V46H58Q100 47 109 49T128 61V619Z"></path><path id="MJX-3786-TEX-N-41" d="M255 0Q240 3 140 3Q48 3 39 0H32V46H47Q119 49 139 88Q140 91 192 245T295 553T348 708Q351 716 366 716H376Q396 715 400 709Q402 707 508 390L617 67Q624 54 636 51T687 46H717V0H708Q699 3 581 3Q458 3 437 0H427V46H440Q510 46 510 64Q510 66 486 138L462 209H229L209 150Q189 91 189 85Q189 72 209 59T259 46H264V0H255ZM447 255L345 557L244 256Q244 255 345 255H447Z"></path><path id="MJX-3786-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3786-TEX-N-53" d="M55 507Q55 590 112 647T243 704H257Q342 704 405 641L426 672Q431 679 436 687T446 700L449 704Q450 704 453 704T459 705H463Q466 705 472 699V462L466 456H448Q437 456 435 459T430 479Q413 605 329 646Q292 662 254 662Q201 662 168 626T135 542Q135 508 152 480T200 435Q210 431 286 412T370 389Q427 367 463 314T500 191Q500 110 448 45T301 -21Q245 -21 201 -4T140 27L122 41Q118 36 107 21T87 -7T78 -21Q76 -22 68 -22H64Q61 -22 55 -16V101Q55 220 56 222Q58 227 76 227H89Q95 221 95 214Q95 182 105 151T139 90T205 42T305 24Q352 24 386 62T420 155Q420 198 398 233T340 281Q284 295 266 300Q261 301 239 306T206 314T174 325T141 343T112 367T85 402Q55 451 55 507Z"></path><path id="MJX-3786-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-3786-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-3786-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D6FF" xlink:href="#MJX-3786-TEX-I-1D6FF"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(833,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="3A0" xlink:href="#MJX-3786-TEX-N-3A0"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(783,-152.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="41" xlink:href="#MJX-3786-TEX-N-41"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2474.1,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3786-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3529.9,0)"><use data-c="1D6FF" xlink:href="#MJX-3786-TEX-I-1D6FF"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3973.9,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="3A0" xlink:href="#MJX-3786-TEX-N-3A0"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(783,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="53" xlink:href="#MJX-3786-TEX-N-53"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5477.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3786-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6533.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-3786-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7033.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-3786-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\delta \Pi_{1}=\left(\begin{array}{lll}<br />\delta \mathrm{x}_{1} &amp; \delta \mathrm{y}_{1} &amp; \delta \varphi_{1}<br />\end{array}\right) \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />\mathrm{c} &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; \mathrm{c} &amp; 0 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 0<br />\end{array}\right] \cdot\left(\begin{array}{l}<br />\mathrm{x}_{1} \\<br />\mathrm{y}_{1} \\<br />\varphi_{1}<br />\end{array}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\delta \Pi_{2}=\left(\begin{array}{lll}<br />\delta \mathrm{x}_{2} &amp; \delta \mathrm{y}_{2} &amp; \delta \varphi_{2}<br />\end{array}\right) \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />\mathrm{c} &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; \mathrm{c} &amp; 0 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 0<br />\end{array}\right] \cdot\left(\begin{array}{l}<br />\mathrm{x}_{2} \\<br />\mathrm{y}_{2} \\<br />\varphi_{2}<br />\end{array}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\delta \Pi_{3}=\left(\begin{array}{lll}<br />\delta \mathrm{x}_{3} &amp; \delta \mathrm{y}_{3} &amp; \delta \varphi_{3}<br />\end{array}\right) \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />\mathrm{c} &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; \mathrm{c} &amp; 0 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 0<br />\end{array}\right] \cdot\left(\begin{array}{l}<br />\mathrm{x}_{3} \\<br />\mathrm{y}_{3} \\<br />\varphi_{3}<br />\end{array}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\delta \Pi_{4}=\left(\begin{array}{lll}<br />\delta \mathrm{x} &amp; \delta \mathrm{y} &amp; \delta \varphi<br />\end{array}\right) \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />c &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; c &amp; 0 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 0<br />\end{array}\right] \cdot\left(\begin{array}{l}<br />\mathrm{x} \\<br />\mathrm{y} \\<br />\varphi<br />\end{array}\right)<br />\]</p>


<p>Umrechnung in generalisierte Koordinaten:</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;\delta \Pi_{1}=\delta \vec{q}^{\top} \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 1 &amp; 0 \\<br />-2 a &amp; 0 &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />c &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; c &amp; 0 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 0<br />\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; -2 a \\<br />0 &amp; 1 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot \vec{q}=\delta \vec{q}^{\top} \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />c &amp; 0 &amp; -2 a c \\<br />0 &amp; c &amp; 0 \\<br />-2 a c &amp; 0 &amp; 4 a^{2} c<br />\end{array}\right] \cdot \vec{q}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\delta \Pi_{2}=\delta \vec{q}^{\top} \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 1 &amp; 0 \\<br />-2 a &amp; 2 b &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />c &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; c &amp; 0 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 0<br />\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; -2 a \\<br />0 &amp; 1 &amp; 2 b \\<br />0 &amp; 0 &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot \vec{q}=\delta \vec{q}^{\top} \cdot\left[\begin{array}{cccc}<br />c &amp; 0 &amp; -2 a c \\<br />0 &amp; c &amp; 2 b c \\<br />-2 a c &amp; 2 b c &amp; 4 c\left(a^{2}+b^{2}\right)<br />\end{array}\right] \cdot \vec{q}<br />\]</p>


<p>\[<br />\delta \Pi_{3}=\delta \vec{q}^{\top} \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 1 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 2 b &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />c &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; c &amp; 0 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 0<br />\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 1 &amp; 2 b \\<br />0 &amp; 0 &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot \vec{q}=\delta \vec{q}^{\top} \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />c &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; c &amp; 2 b c \\<br />0 &amp; 2 b c &amp; 4 b^{2} c<br />\end{array}\right] \cdot \vec{q}<br />\]</p>


<p>\[<br />\delta \Pi_{4}=\delta \overrightarrow{\mathrm{q}}^{\top} \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />\mathrm{c} &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; \mathrm{c} &amp; 0 \\<br />0 &amp; 0 &amp; 0<br />\end{array}\right] \cdot \overrightarrow{\mathrm{q}}<br />\]</p>


<p>Das Gesamtpotenzial ergibt sich als:</p>


<p>\[<br />\sum \delta \Pi_{\mathrm{i}}=\delta \Pi_{1}+\delta \Pi_{2}+\delta \Pi_{3}+\delta \Pi_{4}=\delta \overrightarrow{\mathrm{q}}^{\top} \cdot \underbrace{\left[\begin{array}{ccc}<br />4 c &amp; 0 &amp; -4 a c \\<br />0 &amp; 4 c &amp; 4 b c \\<br />-4 a c &amp; 4 b c &amp; 8 c\left(a^{2}+b^{2}\right)<br />\end{array}\right]}_{\mathrm{C}_{g e s}} \cdot \vec{q}<br />\]</p>


<p>Die Gesamtsteifigkeitsmatrix ergibt sich also zu:</p>


<p>\[<br />\mathrm{C}_{\text {ges }}=\left[\begin{array}{ccc}<br />4 c &amp; 0 &amp; -4 a c \\<br />0 &amp; 4 c &amp; 4 b c \\<br />-4 a c &amp; 4 b c &amp; 8 c\left(a^{2}+b^{2}\right)<br />\end{array}\right]<br />\]</p>


<p>b) Verschiebung im Punkt \( \mathrm{P} \</p>


<p>b) Verschiebung im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{P} \
" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.106ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 931 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3797-TEX-N-50" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H214Q237 683 276 683T331 684Q419 684 471 671T567 616Q624 563 624 489Q624 421 573 372T451 307Q429 302 328 301H234V181Q234 62 237 58Q245 47 304 46H337V0H326Q305 3 182 3Q47 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM507 488Q507 514 506 528T500 564T483 597T450 620T397 635Q385 637 307 637H286Q237 637 234 628Q231 624 231 483V342H302H339Q390 342 423 349T481 382Q507 411 507 488Z"></path><path id="MJX-3797-TEX-N-A0" d=""></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="50" xlink:href="#MJX-3797-TEX-N-50"></use></g></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(681,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-3797-TEX-N-A0"></use></g></g></g></svg></mjx-container>

<p>Die durch die an den Punkten A und S angreifenden Kräfte $ \mathrm{F} $ und $ \mathrm{G} $ und das Moment $ \mathrm{M} $ ausgeführte Arbeit berechnet sich in lokalen Koordinaten als:</p>


<p>Die durch die an den Punkten A und S angreifenden Kräfte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{F} " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.477ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 653 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3798-TEX-N-46" d="M128 619Q121 626 117 628T101 631T58 634H25V680H582V676Q584 670 596 560T610 444V440H570V444Q563 493 561 501Q555 538 543 563T516 601T477 622T431 631T374 633H334H286Q252 633 244 631T233 621Q232 619 232 490V363H284Q287 363 303 363T327 364T349 367T372 373T389 385Q407 403 410 459V480H450V200H410V221Q407 276 389 296Q381 303 371 307T348 313T327 316T303 317T284 317H232V189L233 61Q240 54 245 52T270 48T333 46H360V0H348Q324 3 182 3Q51 3 36 0H25V46H58Q100 47 109 49T128 61V619Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="46" xlink:href="#MJX-3798-TEX-N-46"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{G} " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.776ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 785 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3799-TEX-N-47" d="M56 342Q56 428 89 500T174 615T283 681T391 705Q394 705 400 705T408 704Q499 704 569 636L582 624L612 663Q639 700 643 704Q644 704 647 704T653 705H657Q660 705 666 699V419L660 413H626Q620 419 619 430Q610 512 571 572T476 651Q457 658 426 658Q401 658 376 654T316 633T254 592T205 519T177 411Q173 369 173 335Q173 259 192 201T238 111T302 58T370 31T431 24Q478 24 513 45T559 100Q562 110 562 160V212Q561 213 557 216T551 220T542 223T526 225T502 226T463 227H437V273H449L609 270Q715 270 727 273H735V227H721Q674 227 668 215Q666 211 666 108V6Q660 0 657 0Q653 0 639 10Q617 25 600 42L587 54Q571 27 524 3T406 -22Q317 -22 238 22T108 151T56 342Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="47" xlink:href="#MJX-3799-TEX-N-47"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> und das Moment <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{M} " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.075ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 917 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3800-TEX-N-4D" d="M132 622Q125 629 121 631T105 634T62 637H29V683H135Q221 683 232 682T249 675Q250 674 354 398L458 124L562 398Q666 674 668 675Q671 681 683 682T781 683H887V637H854Q814 636 803 634T785 622V61Q791 51 802 49T854 46H887V0H876Q855 3 736 3Q605 3 596 0H585V46H618Q660 47 669 49T688 61V347Q688 424 688 461T688 546T688 613L687 632Q454 14 450 7Q446 1 430 1T410 7Q409 9 292 316L176 624V606Q175 588 175 543T175 463T175 356L176 86Q187 50 261 46H278V0H269Q254 3 154 3Q52 3 37 0H29V46H46Q78 48 98 56T122 69T132 86V622Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4D" xlink:href="#MJX-3800-TEX-N-4D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> ausgeführte Arbeit berechnet sich in lokalen Koordinaten als:</p>


<p>\[<br />\delta W=\delta W_{A}+\delta W_{S}=\left(\begin{array}{lll}<br />\delta x_{A} &amp; \delta y_{A} &amp; \delta \varphi_{A}<br />\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}<br />F \\<br />0 \\<br />-M<br />\end{array}\right)+\left(\begin{array}{lll}<br />\delta x_{S} &amp; \delta y_{s} &amp; \delta \varphi_{S}<br />\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}<br />0 \\<br />-m g \\<br />0<br />\end{array}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\delta W_{A}=(\delta x \quad \delta y \quad \delta \varphi) \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 1 &amp; 0 \\<br />-a &amp; 2 a &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot\left(\begin{array}{c}<br />F \\<br />0 \\<br />-M<br />\end{array}\right)=\delta \vec{q}^{\top} \cdot\left(\begin{array}{c}<br />F \\<br />0 \\<br />-M-a F<br />\end{array}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\delta W_{s}=\left(\begin{array}{lll}<br />\delta x &amp; \delta y &amp; \delta \varphi<br />\end{array}\right) \cdot\left[\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 1 &amp; 0 \\<br />-a &amp; b &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot\left(\begin{array}{c}<br />0 \\<br />-m g \\<br />0<br />\end{array}\right)=\delta \vec{q}^{\top} \cdot\left(\begin{array}{c}<br />0 \\<br />-m g \\<br />-b m g<br />\end{array}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\delta W=\delta W_{A}+\delta W_{S}=\delta \vec{q}^{\top} \cdot\left(\begin{array}{c}<br />F \\<br />-m g \\<br />-M-a F-b m g<br />\end{array}\right)=\delta \vec{q}^{\top} \cdot \vec{F}_{g e s}<br />\]</p>


<p>Es gilt $\delta W=\sum \delta \Pi_{i}$. Eingesetzt ergibt sich:</p>


<p>Es gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\delta W=\sum \delta \Pi_{i}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.6ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5569.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3805-TEX-I-1D6FF" d="M195 609Q195 656 227 686T302 717Q319 716 351 709T407 697T433 690Q451 682 451 662Q451 644 438 628T403 612Q382 612 348 641T288 671T249 657T235 628Q235 584 334 463Q401 379 401 292Q401 169 340 80T205 -10H198Q127 -10 83 36T36 153Q36 286 151 382Q191 413 252 434Q252 435 245 449T230 481T214 521T201 566T195 609ZM112 130Q112 83 136 55T204 27Q233 27 256 51T291 111T309 178T316 232Q316 267 309 298T295 344T269 400L259 396Q215 381 183 342T137 256T118 179T112 130Z"></path><path id="MJX-3805-TEX-I-1D44A" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path id="MJX-3805-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3805-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-3805-TEX-N-3A0" d="M128 619Q121 626 117 628T101 631T58 634H25V680H724V634H691Q651 633 640 631T622 619V61Q628 51 639 49T691 46H724V0H713Q692 3 569 3Q434 3 425 0H414V46H447Q489 47 498 49T517 61V634H232V348L233 61Q239 51 250 49T302 46H335V0H324Q303 3 180 3Q45 3 36 0H25V46H58Q100 47 109 49T128 61V619Z"></path><path id="MJX-3805-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D6FF" xlink:href="#MJX-3805-TEX-I-1D6FF"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(444,0)"><use data-c="1D44A" xlink:href="#MJX-3805-TEX-I-1D44A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1769.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3805-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2825.6,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-3805-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4048.2,0)"><use data-c="1D6FF" xlink:href="#MJX-3805-TEX-I-1D6FF"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4492.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="3A0" xlink:href="#MJX-3805-TEX-N-3A0"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(783,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-3805-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>. Eingesetzt ergibt sich:</p>


<p>\[ \delta \vec{\mathrm{q}}^{\top} \cdot \vec{F}_{\text {ges }}=\delta \vec{\mathrm{q}}^{\top} \cdot \mathrm{C}_{\text {ges }} \cdot \vec{\mathrm{q}} \]</p>


<p>Für den Fall $ \mathrm{b}=3 \mathrm{a} $ :</p>


<p>\[<br />C_{\text {ges }}=\left[\begin{array}{ccc}<br />4 c &amp; 0 &amp; -4 a c \\<br />0 &amp; 4 c &amp; 12 a c \\<br />-4 a c &amp; 12 a c &amp; 80 a^{2} c<br />\end{array}\right]<br />\]</p>


<p>Nach $ \overrightarrow{\mathrm{q}} $ aufgelöst:</p>


<p>Nach <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \overrightarrow{\mathrm{q}} " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.195ex" height="3.084ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1169 528 1363" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3809-TEX-N-71" d="M33 218Q33 308 95 374T236 441H246Q330 441 381 372L387 364Q388 364 404 403L420 442H457V156Q457 -132 458 -134Q462 -142 470 -145Q491 -148 519 -148H535V-194H527L504 -193Q480 -192 453 -192T415 -191Q312 -191 303 -194H295V-148H311Q339 -148 360 -145Q369 -141 371 -135T373 -106V-41V49Q313 -11 236 -11Q154 -11 94 53T33 218ZM376 300Q346 389 278 401Q275 401 269 401T261 402Q211 400 171 350T131 214Q131 137 165 82T253 27Q296 27 328 54T376 118V300Z"></path><path id="MJX-3809-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="71" xlink:href="#MJX-3809-TEX-N-71"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(264,558) translate(-500 0)"><use data-c="2192" xlink:href="#MJX-3809-TEX-N-2192"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> aufgelöst:</p>


<p>\[<br />\vec{\mathrm{q}}=\mathrm{C}_{\text {ges }}{ }^{-1} \cdot \vec{F}_{\text {ges }}=\frac{1}{40 \cdot \mathrm{ca}^{2}}\left[\begin{array}{ccc}<br />11 a^{2} &amp; -3 a^{2} &amp; a \\<br />-3 a^{2} &amp; 19 a^{2} &amp; -3 a \\<br />a &amp; -3 a &amp; 1<br />\end{array}\right] \cdot\left(\begin{array}{c}<br />\mathrm{F} \\<br />-\mathrm{mg} \\<br />-\mathrm{M}-\mathrm{aF}-3 \mathrm{amg}<br />\end{array}\right)<br />\]</p>


<p>Daraus folgen die Verschiebungen in die einzelnen Koordinatenrichtungen:</p>


<p>\[<br />\mathrm{x}=\frac{10 \cdot \mathrm{Fa}-\mathrm{M}}{40 \cdot \mathrm{ca}} \]</p>


<p>\[\mathrm{y}=\frac{3 \cdot \mathrm{M}-10 \cdot \mathrm{amg}}{40 \cdot \mathrm{ca}} \]</p>


<p>\[\varphi=\frac{-\mathrm{M}}{40 \cdot \mathrm{ca}^{2}}<br />\]</p>

<p>Eine homogene rechteckige Platte (Masse $ \mathrm{m} $) ist wie dargestellt an ihren Eckpunkten mit 8 gleichen Federn (Federsteifigkeit $c$) aufgehängt. Am Punkt $A$ greifen die Kraff und das Moment $M$ an.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Berechnen Sie die Gesamtsteifigkeitsmatrix der Anordnung für ein Koordinatensystem im Punkt $ P $</li>
<li>Berechnen sie die Verschiebung im Punkt $ \mathrm{P} $ für den Fall $ \mathrm{b}=3 \mathrm{a} $</li>
</ol>
<p><img style="width: 92%; height: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/607d051eb29296cf2249ac07.png" alt="Abbildung" width="1077" height="842" /></p>
<p><strong>Gegeben: </strong>$ \quad F,\ M,\ m,\ g,\ c,\ a,\ b,\ \alpha=45 $</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: TUHH-TM2 mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: