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Aufgabenstellung:

Ein Kragträger aus einem A - Profil (Länge ) wird durch ein Moment gemäß der ersten Skizze belastet. Das Profil und dessen Querschnittsabmessungen sind der zweiten Skizze entnehmen.

  1. Berechnen sie die unter der gegebenen Belastung auftretenden größten Zug- und Druckspannungen.
  2. Wo treten diese Spannungen auf?

Gegeben:

 

Seitenansicht (Skizze 1)

Abbildung

3D-Ansicht (Skizze 2)

Abbildung

Lösungsweg:

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Zur Berechnung der auftretenden Normalspannungen muss zunächst das Flächenträgheitsmoment des A-Profils bestimmt werden.

Das Profil kann in folgende Elemente mit bekanntem Flächenträgheitsmoment zerlegt werden (Skizze):

Abbildung

Die Zerlegung erfolgt dann in drei Teilkörper. Zunächst muss der Flächenschwerpunkt ermittelt werden:

Skizze:

Abbildung

Schwerpunkt in Koordinaten:

Aus Symetrie folgt für

mittels Tabelle

Mit den bekannten Schwerpunktskoordinaten und den aus der Tafel bekannten Einzelträgheitsmomenten mit den entsprechenden Werten werden die Einzelflächenträgheiten bestimmt:

Das Gesamtträgheitsmoment ergibt sich aus den Einzelflächenträgheitsmomenten und den entsprechenden Steineranteilen:

Aufgrund der gegebenen Belastung ist das Moment auf dem ganzen Balken konstant und entspricht dem äußeren Moment

Der Zusammenhang zwischen Spannung und Moment lautet:

Die betragsmäßig größten Spannungen treten somit an den Stellen auf, die am weitesten von der so genannten neutralen Faser entfernt sind. (Skizze)

Abbildung

Damit ergeben sich die maximalen Zug-/Druck-Spannungen:

b) Wo treten diese Spannungen auf? 

Aufgrund der äußeren Belastung ist der Spannungsverlauf über die gesamte Balkenlänge auf dem Balkenquerschnitt gleich

  • Die maximale Druckspannung tritt auf der Balkenunterseite auf
  • Die maximale Zugspannung tritt auf der Balkenoberseite auf

Lösung:

  2. Die maximale Druckspannung tritt auf der Balkenunterseite auf und die maximale Zugspannung tritt auf der Balkenoberseite auf.