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Aufgabenstellung:

Der zylindrische Halbkörper aus der Abbildung besteht aus zwei Hälften mit unterschiedlicher elektrischer Leitfähigkeit und . Der Körper wird mit den ideal leitenden Frontflächen an eine bekannte, konstante Spannung angeschlossen.

Abbildung

a) Zeichnen Sie das elektrische Ersatzschaltbild mit diskreten Widerständen und tragen Sie alle relevanten elektrischen Größen (Spannung, Strom) ein.

b) Geben Sie die Verhältnisse zwischen den elektrischen Feldstärken und sowie zwischen den Stromdichten und an.

c) Berechnen Sie die elektrischen Feldstärken in den beiden Hälften abhängig von der angelegten Spannung .

d) Gesucht ist der elektrische Strom der durch die ideal leitenden Kontaktflächen fließt.

Lösungsweg:

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a) Ersatzschaltbild

Gesucht: Elektrisches Ersatzschaltbild der Anordnung
Gegeben: Der Strom I fließt durch beide Abschnitte.

Es handelt sich daher um eine Reihenschaltung von zwei Widerständen.

Abbildung

b) Verhältnisse

Gesucht:

Ergänzung: Man beachte das Verhalten der Feldgrößen an Grenzflächen.

Die Gleichgewichtsbedingungen

und

Aufgrund der Reihenschaltung (gleicher Strom) und der identischen Abmessungen der beiden Abschnitte muss gelten:

c) Feldstärken

Gesucht:

Beim Anlegen einer Spannung U an einen Körper gilt:

Im Ersatzschaltbild sieht man dass die Gesamtspannung sich auf die beiden Widerstände der Abschnitte aufteilt.

Die Feldlinien laufen senkrecht zum Radius in Richtung des Einheitsvektors

Da die elektrischen Feldlinien außen länger sind als innen, ist die Feldstärke abhängig vom Radius .

Sie ist nicht vom Winkel anhängig.

Da und wegen Gleichung (1) voneinander abhängen, muss nur eine der beiden Feldstärken berechnet werden.

Da der Intergretionsweg der Feldstärke entlang der Feldlinien verläuft (siehe folgende Abbildung). zeigt das Linienelement ebenfalls nur in Richtung .

Abbildung

Verlauf der Stromdichte

Das allgemeine Linienelement in Zylinderkoordinaten ist:

nur in Richtung

Es ergibt sich daher:

Die Lösung des Integrals führt auf

Die fehlende Beziehung zur Spannung kann durch die Gleichung (1) gewonnen werden

Damit ergeben sich die gesuchten elektrischen Feldstärken in den beiden Abschnitten zu

d) Strom

Gesucht: Der elektrische Strom der durch die ideal leitenden Kontaktflächen fließt.

Gegeben: Leitfähigkeit elektrische Feldstärke und Geometrie des Körpers Die Feldlinien der Stromdichte verlaufen in isotropen Materialien wie in der Abbildung (Verlauf der Stromdichte) zu sehen analog zur elektrischen Feldstärke senkrecht zum Radius, ihr Länge und Dichte ist abhängig vom Radius.

Der Strom der durch die gesamte, ideal leitende Fläche hindurch tritt, berechnet sich durch die Beziehung der Grundgröße des stationäres Strömungsfeldes zur Feldgröße .

Das Flächenelement kann man aus folgender Abbildung ableiten.

Abbildung

Grafik zur Parametrisierung der Seitenfläche

Einsetzen der Stromdichte und des Flächenelements und der Grenzen in die Gleichung (2) ergibt:

mit der Lösung des Flächenintegrals

Lösung:

siehe Lösungsweg