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Aufgabenstellung:

Gegeben sei der in der Abbildung dargestellte Halbzylinder mit der Länge und dem Radius der die von der Koordinate unabhängige Leitfähigkeit besitzt. Beide Deckflächen sind vollständig mit ideal leitfähigen Elektroden versehen (die vordere Elektrode ist grau eingefärbt). Über dem Halbzylinder liegt die Spannung in der eingezeichneten Richtung an.

Abbildung

a) Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke im gesamten Halbzylinder in Abhängigkeit der geometrischen Größen und der angelegten Spannung .
Es gelte nun

b) Bestimmen Sie die Stromdichte die sich im Halbzylinder einstellt, in Abhängigkeit der geometrischen Größen sowie der angelegten Spannung .
c) Berechnen Sie nun den in -Richtung orientierten Strom in Abhängigkeit der geometrischen Größen sowie der angelegten Spannung .
d) Berechnen Sie den Widerstand der Anordnung.

Lösungsweg:

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a) Elektrische Feldstärke

Die Spannung lässtz sich aus der Feldstärke berechnen nach:

Daraus lässt sich für die Feldstärke angeben:

Die Richtung ist in -Richtung. Daher folgt für :

b) Stromdichte

Die Stromdichte berechnet sich über die Materialkonstante:

Für den Fall der winkelabhängigen Leitfähigkeit ergibt sich

c) Strom

Die Stromstärke ist das Intergral der Stromdichte über die Fläche, hier also

d) Widerstand

Der Widerstand ist der Quotient aus Spannung und Stromstärke:

Lösung:

sieh Lösungsweg junge