Balkensysteme

Stabsysteme

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

<p>\begin{align}<br />N_{A C}&amp;=-1,409 \mathrm{kN} \\<br />N_{C D}&amp;=-9,296 \mathrm{kN} \\<br />N_{B C}&amp;=1,220 \mathrm{kN} \\\\<br />u_{C}&amp;=1,220 \mathrm{~mm} \\<br />v_{C}&amp;=-5,367 \mathrm{~mm} <br />\end{align}</p>

<p>Kräftegleichgewicht am Knoten C:</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\sum F_{x}=0:&amp;&amp; \quad -N_{B C}-N_{A C} \cos (\alpha)&amp;=0 \\<br />\sum F_{y}=0: &amp;&amp; \quad -F-N_{A C} \sin (\alpha)-N_{C D}&amp;=0<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>\[<br />u_{C}=\Delta L_{B C}=\frac{N_{B C} a}{E A}<br />\]</p>


<p>\[ v_{C}=\Delta L_{C D}=\frac{N_{C D} a \tan (\alpha)}{E A} \]</p>


<p>\[u_{C} \cos (\alpha)+v_{C} \sin (\alpha)=\Delta L_{A C}=\frac{N_{A C} a}{E A \cos (\alpha)}\]</p>


<p>Auflösen der Stabgleichungen nach den Stabkräften:</p>


<p>\begin{align}<br />N_{B C}&amp;=E A \frac{u_{C}}{a} \\ \\<br />N_{C D}&amp;=E A \frac{v_{C}}{a} \cot (\alpha) \\ \\<br />N_{A C}&amp;=E A \frac{u_{C} \cos (\alpha)+v_{C} \sin (\alpha)}{a} \cos (\alpha)<br />\end{align}</p>


<p>Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen:</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\sum F_{x}&amp;=0: \quad -\frac{E A}{a}\left[u_{C}+\left(u_{C} \cos (\alpha)+v_{C} \sin (\alpha)\right) \cos ^{2}(\alpha)\right]=0 \\<br />&amp;\Rightarrow\left(1+\cos ^{3}(\alpha)\right) u_{C}+\sin (\alpha) \cos ^{2}(\alpha) v_{C}=0 \\\\<br />\sum F_{y}&amp;=0: \quad -F-\frac{E A}{a}\left[\left(u_{C} \cos (\alpha)+v_{C} \sin (\alpha)\right) \cos (\alpha) \sin (\alpha)+v_{C} \cot (\alpha)\right]=0 \\<br />&amp;\Rightarrow \cos ^{2}(\alpha) \sin (\alpha) u_{C}+\left(\sin ^{2}(\alpha) \cos (\alpha)+\cot (\alpha)\right) v_{C}=-\frac{F a}{E A}<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>Auflösen nach den Verschiebungen:</p>


<p>\[<br />v_{C}=-\frac{1+\cos ^{3}(\alpha)}{\sin (\alpha) \cos ^{2}(\alpha)} u_{C}<br />\]</p>


<p>\[<br />\left[\cos ^{2}(\alpha) \sin (\alpha)-\frac{1+\cos ^{3}(\alpha)}{\sin (\alpha) \cos ^{2}(\alpha)}\left(\sin ^{2}(\alpha) \cos (\alpha)+\cot (\alpha)\right)\right] u_{C}=-\frac{F a}{E A}<br />\]</p>


<p>Mit \( \sin \left(30^{\circ}\right)=\frac{1}{2} \) und \( \cos \left(30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \) folgt:</p>


<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sin \left(30^{\circ}\right)=\frac{1}{2} " style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.978ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 5736.3 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-56-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-56-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 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151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-63"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-6F" transform="translate(444,0)"></use><use data-c="73" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-73" transform="translate(944,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1338,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1504.7,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-33"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1033,393.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2218" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-2218"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1825.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3997,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5052.8,0)"><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(220,418.5) scale(0.707)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,106.6)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="42.4" x="853" y="864.1"></rect></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(521.6,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-57-TEX-N-32"></use></g><rect width="1156.7" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> folgt:</p>


<p>\begin{align} <br />&amp;&amp; \left[\frac{3}{8}-\frac{8+3 \sqrt{3}}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{8}+\sqrt{3}\right)\right] u_{C}&amp;=-\frac{F a}{E A} \\<br />\Leftrightarrow &amp;&amp; \quad -3(1+\sqrt{3}) u_{C}&amp;=-\frac{F a}{E A} \\\\<br />\Leftrightarrow &amp;&amp; \quad u_{C}&amp;=\frac{1}{3(1+\sqrt{3})} \frac{F a}{E A}<br />\end{align}\]</p>


<p>\begin{align}<br />\Rightarrow \quad v_{C}=-\frac{8+3 \sqrt{3}}{3} u_{C}=-\frac{8+3 \sqrt{3}}{9(1+\sqrt{3})} \frac{F a}{E A} <br />\end{align}</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />N_{B C}&amp;=\frac{F}{3(1+\sqrt{3})} \\\\<br />N_{C D}&amp;=-\frac{8+3 \sqrt{3}}{9(1+\sqrt{3})} \sqrt{3} F=-\frac{8 \sqrt{3}+9}{9(1+\sqrt{3})} F \\\\<br />N_{A C}&amp;=\left(\frac{1}{4(1+\sqrt{3})}-\frac{8+3 \sqrt{3}}{9(1+\sqrt{3})} \frac{\sqrt{3}}{4}\right) F=-\frac{8 \sqrt{3}}{36(1+\sqrt{3})} F<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>\begin{align}<br />\frac{F a}{E A}&amp;=\frac{10 \cdot 10^{3} \mathrm{~N} \cdot 1000 \mathrm{~mm}}{10^{6} \mathrm{~N}}=10 \mathrm{~mm}\\\\<br />u_{C}&amp;=\frac{10 \mathrm{~mm}}{3(1+\sqrt{3})}=\underline{1,220 \mathrm{~mm}} \\ <br />v_{C}&amp;=-10 \mathrm{~mm} \cdot \frac{8+3 \sqrt{3}}{9(1+\sqrt{3})}=-5,367 \mathrm{~mm} \\\\<br />N_{B C}&amp;=\frac{10 \mathrm{kN}}{3(1+\sqrt{3})}=\underline{1,220 \mathrm{kN}}\\<br />N_{C D}&amp;=-\frac{8 \sqrt{3}+9}{9(1+\sqrt{3})} \cdot 10 \mathrm{kN}=-9,296 \mathrm{kN} \\<br />N_{A C}&amp;=-\frac{8 \sqrt{3}}{36(1+\sqrt{3})} \cdot 10 \mathrm{kN}=-1,409 \mathrm{kN}<br />\end{align}\]</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Das abgebildete Tragwerk besteht aus drei Stäben, die im Punkt \( C \) gelenkig miteinander verbunden sind und in den Punkten \( A, B \) und D gelenkig gelagert sind. Im Punkt \( C \) greift die Kraft \( F \) an.</p>
<p>Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben und die Verschiebung von Punkt \( C \).</p>
<p><br /><strong>Gegeben:</strong> <br />\(F=10 \mathrm{kN}, \ E A=10^{6} \mathrm{~N}\)<br />\(a=1 \mathrm{~m}, \ \alpha=30^{\circ}\)</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6030aa6c99dd3d088221acbe.png" alt="Abbildung" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Stabsysteme mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: