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Vorlesung Technische Mechanik

<p>\begin{align}<br />N_{B D}&amp;=-\frac{51 q_{0} a}{24+250 I_{y} /\left(A a^{2}\right)} \\\\ <br />N_{F G}&amp;=-\frac{170 q_{0} a}{24+250 I_{y} /\left(A a^{2}\right)} <br />\end{align}</p>

<p>Balken <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A B " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.414ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1509 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1630-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-1630-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-1630-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(750,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-1630-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Aus der Biegelinientabelle kann entnommen werden:</p>


<p>\[<br />\quad \begin{aligned}<br />w_{1}\left(x_{1}\right)&amp;= \frac{q_{0}(3 a)^{4}}{24 E I_{y}}\left[6\left(\frac{x_{1}}{3 a}\right)^{2}-4\left(\frac{x_{1}}{3 a}\right)^{3}+\left(\frac{x_{1}}{3 a}\right)^{4}\right] \\<br />&amp;=\frac{q_{0} a^{4}}{24 E I_{y}}\left[54\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}-12\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{3}+\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{4}\right] \\\\<br />w_{B 1}=&amp; w_{1}(2 a)=\frac{q_{0} a^{4}}{24 E I_{y}}(54 \cdot 4-12 \cdot 8+16)=\frac{17}{3} \frac{q_{0} a^{4}}{E I_{y}}<br />\end{aligned}</p>


<p>Lastfall 2 : Unbekannte Stabkraft \( N_{B D} \)</p>


<p>Lastfall 2 : Unbekannte Stabkraft <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" N_{B D} " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.543ex" height="1.885ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2008.2 833" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1632-TEX-I-1D441" d="M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z"></path><path id="MJX-1632-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-1632-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D441" xlink:href="#MJX-1632-TEX-I-1D441"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(836,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-1632-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(759,0)"><use data-c="1D437" xlink:href="#MJX-1632-TEX-I-1D437"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\quad \begin{align}<br />w_{2}\left(x_{1}\right)&amp;= \frac{N_{B D}(3 a)^{3}}{6 E I_{y}}\left[2\left(\frac{x_{1}}{3 a}\right)^{2}-\left(\frac{x_{1}}{3 a}\right)^{3}+\left(\frac{x_{1}}{3 a}-\frac{2}{3}\right)^{3}\right] \\<br />&amp;= \frac{N_{B D} a^{3}}{6 E I_{y}}\left[6\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}-\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{3}+\left(\frac{x_{1}}{a}-2\right)^{3}\right] \\\\<br />w_{B 2}&amp;=w_{2}(2 a)=\frac{N_{B D} a^{3}}{6 E I_{y}}(6 \cdot 4-8)=\frac{8}{3} \frac{N_{B D} a^{3}}{E I_{y}}<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>\[<br />\tan (\alpha)=\frac{3}{4} \quad \Rightarrow \cos (\alpha)=\frac{4}{5}, \quad \sin (\alpha)=\frac{3}{5}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\sum M^{E}=0: &amp; \quad 2 a N_{B D}-a N_{F G} \sin (\alpha)=0 \\<br />&amp;\Rightarrow 2 N_{B D}=\frac{3}{5} N_{F G} \\<br />&amp;\Rightarrow 10 N_{B D}=3 N_{F G}<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\Delta L_{F G} &amp;=\left(u_{G}-u_{F}\right) \cos (-\alpha)+\left(v_{G}-v_{F}\right) \sin (-\alpha) \\<br />&amp;=v_{F} \sin (\alpha)=\frac{3}{5} v_{F} \\\\<br />L_{F G}&amp;= \sqrt{2^{2}+\frac{3^{2}}{2^{2}} a=\frac{5}{2} a} \\\\<br />N_{F G}&amp;= E A \frac{\Delta L_{F G}}{L_{F G}}=\frac{2}{5} E A \cdot \frac{3}{5} \frac{v_{F}}{a}=\frac{6}{25} E A \phi<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Aus dem Momentengleichgewicht folgt:</p>


<p>Da der Stab BD starr ist, muss gelten: \( v_{D}=-w_{B} \)</p>


<p>Da der Stab BD starr ist, muss gelten: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" v_{D}=-w_{B} " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.409ex" height="1.658ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -583 4600.7 733" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1640-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-1640-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path><path id="MJX-1640-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1640-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1640-TEX-I-1D464" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path><path id="MJX-1640-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-1640-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D437" xlink:href="#MJX-1640-TEX-I-1D437"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1431.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1640-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2487,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-1640-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3265,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D464" xlink:href="#MJX-1640-TEX-I-1D464"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(749,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-1640-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\quad &amp;2 a \phi=-\left(w_{B 1}+w_{B 2}\right)=-\frac{17}{3} \frac{q_{0} a^{4}}{E I_{y}}-\frac{8}{3} \frac{N_{B D} a^{3}}{E I_{y}}=-\frac{17}{3} \frac{q_{0} a^{4}}{E I_{y}}-\frac{24}{125} \frac{A a^{2}}{I_{y}} a \phi \\<br />&amp;\left(2+\frac{24}{125} \frac{A a^{2}}{I_{y}}\right) a \phi=-\frac{17}{3} \frac{q_{0} a^{4}}{E I_{y}} \\\\<br />&amp;\phi=-\frac{17}{3} \frac{q_{0} a^{3}}{E I_{y}} \frac{1}{2+\frac{24}{125} \frac{A a^{2}}{I_{y}}}=-\frac{17}{3} \frac{q_{0} a^{3}}{E} \frac{125}{250 I_{y}+24 A a^{2}}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />N_{B D}=-\frac{18}{250} \frac{17}{3} \frac{125 A q_{0} a^{3}}{250 I_{y}+24 A a^{2}}=-\frac{51 q_{0} a}{24+250 I_{y} /\left(A a^{2}\right)}<br />\]</p>
<p>\[<br />N_{F G}=-\frac{6}{25} \frac{17}{3} \frac{125 A q_{0} a^{3}}{250 I_{y}+24 A a^{2}}=-\frac{170 q_{0} a}{24+250 I_{y} /\left(A a^{2}\right)}<br />\]</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Der Balken \( A C \) (Biegesteifigkeit \( \left.E I_{y}\right) \) ist im Punkt \( A \) fest eingespannt. Im Punkt \( B \) ist der starre Stab BD gelenkig angeschlossen.<br />Der starre Körper EDF wird im Punkt \( E \) durch ein Festlager gehalten. In den Punkten \( D \) und \( F \) sind die Stäbe \( B D \) und \( F G \) ge lenkig angeschlossen. Der Stab FG hat die Dehnsteifigkeit \( E A \) und wird im Punkt \( G \) durch ein Festlager gehalten.<br />Der Balken \( A C \) wird durch die konstante Streckenlast \( q_{0} \) belastet. Gesucht sind die Kräfte in den Stäben \( B D \) und \( F G \).</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6030bd7c99dd3d088221cdc4.png" alt="Abbildung" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Balkensysteme mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: