KIT - Klausuren - TM2

TM 2 Sammlung

TUHH-TM2

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>
<p>\[<br />\varepsilon_{x}^{a}=\varepsilon_{y}^{a} \quad \sigma_{x}^{a}=\sigma_{y}^{a}<br />\]</p>
<p>\[<br />\varepsilon_{x}^{b}=\varepsilon_{y}^{b} \quad \sigma_{x}^{b}=\sigma_{y}^{b}<br />\]</p>
</li>
<li>\[\sigma_{y}^{a}=-\sigma_{y}^{b} ; \quad  \sigma_{x}^{a}=-\sigma_{x}^{b}\]</li>
<li>\[\sigma_{x}^{a}=\frac{E^{a} \nu^{b} p-E^{b} \nu^{a} p}{\left(1-\nu^{a}\right) E^{b}+\left(1-\nu^{b}\right) E^{a}}\]</li>
</ol>

<p>\[<br />E \varepsilon_{x}=\sigma_{x}-\nu\left(\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)<br />\]</p>
<p>\[<br />\sigma \gamma_{x y z}=\tau_{x y}<br />\]</p>


<p>a) Zusammenhang zwischen \( \sigma_{x} \) und \( \sigma_{y} \) sowie zwischen \( \varepsilon_{x} \) und \( \varepsilon_{y} \)</p>


<p>a) Zusammenhang zwischen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sigma_{x} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.395ex" height="1.332ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 1058.5 588.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-317-TEX-I-1D70E" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path id="MJX-317-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70E" xlink:href="#MJX-317-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(604,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-317-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sigma_{y} " style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.264ex" height="1.642ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 1000.5 726" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-318-TEX-I-1D70E" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path id="MJX-318-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70E" xlink:href="#MJX-318-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(604,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-318-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> sowie zwischen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \varepsilon_{x} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.157ex" height="1.38ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -452 953.5 609.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-319-TEX-I-1D700" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path><path id="MJX-319-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D700" xlink:href="#MJX-319-TEX-I-1D700"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-319-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \varepsilon_{y} " style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.026ex" height="1.69ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -452 895.5 747" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-320-TEX-I-1D700" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path><path id="MJX-320-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D700" xlink:href="#MJX-320-TEX-I-1D700"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-320-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Richtungs- und ortsunabhängiger Verzerrungs- bzw. Spannungszustand:</p>


<p>\[<br />\varepsilon_{x}^{a}=\varepsilon_{y}^{a} \quad \sigma_{x}^{a}=\sigma_{y}^{a}<br />\]</p>
<p>\[<br />\varepsilon_{x}^{b}=\varepsilon_{y}^{b} \quad \sigma_{x}^{b}=\sigma_{y}^{b}<br />\]</p>


<p>b) Zusammenhang zwischen \( \sigma_{x}^{\mathrm{a}} \) und \( \sigma_{x}^{\mathrm{b}}</p>


<p>b) Zusammenhang zwischen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sigma_{x}^{\mathrm{a}} " style="vertical-align: -0.576ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.395ex" height="2.114ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -679.8 1058.5 934.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-323-TEX-I-1D70E" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path id="MJX-323-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 320T63 359Q63 394 97 421T218 448Q291 448 336 416T396 340Q401 326 401 309T402 194V124Q402 76 407 58T428 40Q443 40 448 56T453 109V145H493V106Q492 66 490 59Q481 29 455 12T400 -6T353 12T329 54V58L327 55Q325 52 322 49T314 40T302 29T287 17T269 6T247 -2T221 -8T190 -11Q130 -11 82 20T34 107Q34 128 41 147T68 188T116 225T194 253T304 268H318V290Q318 324 312 340Q290 411 215 411Q197 411 181 410T156 406T148 403Q170 388 170 359Q170 334 154 320ZM126 106Q126 75 150 51T209 26Q247 26 276 49T315 109Q317 116 318 175Q318 233 317 233Q309 233 296 232T251 223T193 203T147 166T126 106Z"></path><path id="MJX-323-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70E" xlink:href="#MJX-323-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(604,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="61" xlink:href="#MJX-323-TEX-N-61"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(604,-247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-323-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sigma_{x}^{\mathrm{b}}
" style="vertical-align: -0.576ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.395ex" height="2.508ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -853.7 1058.5 1108.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-324-TEX-I-1D70E" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path id="MJX-324-TEX-N-62" d="M307 -11Q234 -11 168 55L158 37Q156 34 153 28T147 17T143 10L138 1L118 0H98V298Q98 599 97 603Q94 622 83 628T38 637H20V660Q20 683 22 683L32 684Q42 685 61 686T98 688Q115 689 135 690T165 693T176 694H179V543Q179 391 180 391L183 394Q186 397 192 401T207 411T228 421T254 431T286 439T323 442Q401 442 461 379T522 216Q522 115 458 52T307 -11ZM182 98Q182 97 187 90T196 79T206 67T218 55T233 44T250 35T271 29T295 26Q330 26 363 46T412 113Q424 148 424 212Q424 287 412 323Q385 405 300 405Q270 405 239 390T188 347L182 339V98Z"></path><path id="MJX-324-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70E" xlink:href="#MJX-324-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(604,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="62" xlink:href="#MJX-324-TEX-N-62"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(604,-247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-324-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

<p>Gleichgewicht in \( \mathrm{x}-\mathrm{bzw} . \mathrm{y} \) -Richtung:</p>


<p>Gleichgewicht in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{x}-\mathrm{bzw} . \mathrm{y} " style="vertical-align: -0.462ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.057ex" height="2.032ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 4445.1 898" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-325-TEX-N-78" d="M201 0Q189 3 102 3Q26 3 17 0H11V46H25Q48 47 67 52T96 61T121 78T139 96T160 122T180 150L226 210L168 288Q159 301 149 315T133 336T122 351T113 363T107 370T100 376T94 379T88 381T80 383Q74 383 44 385H16V431H23Q59 429 126 429Q219 429 229 431H237V385Q201 381 201 369Q201 367 211 353T239 315T268 274L272 270L297 304Q329 345 329 358Q329 364 327 369T322 376T317 380T310 384L307 385H302V431H309Q324 428 408 428Q487 428 493 431H499V385H492Q443 385 411 368Q394 360 377 341T312 257L296 236L358 151Q424 61 429 57T446 50Q464 46 499 46H516V0H510H502Q494 1 482 1T457 2T432 2T414 3Q403 3 377 3T327 1L304 0H295V46H298Q309 46 320 51T331 63Q331 65 291 120L250 175Q249 174 219 133T185 88Q181 83 181 74Q181 63 188 55T206 46Q208 46 208 23V0H201Z"></path><path id="MJX-325-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-325-TEX-N-62" d="M307 -11Q234 -11 168 55L158 37Q156 34 153 28T147 17T143 10L138 1L118 0H98V298Q98 599 97 603Q94 622 83 628T38 637H20V660Q20 683 22 683L32 684Q42 685 61 686T98 688Q115 689 135 690T165 693T176 694H179V543Q179 391 180 391L183 394Q186 397 192 401T207 411T228 421T254 431T286 439T323 442Q401 442 461 379T522 216Q522 115 458 52T307 -11ZM182 98Q182 97 187 90T196 79T206 67T218 55T233 44T250 35T271 29T295 26Q330 26 363 46T412 113Q424 148 424 212Q424 287 412 323Q385 405 300 405Q270 405 239 390T188 347L182 339V98Z"></path><path id="MJX-325-TEX-N-7A" d="M42 263Q44 270 48 345T53 423V431H393Q399 425 399 415Q399 403 398 402L381 378Q364 355 331 309T265 220L134 41L182 40H206Q254 40 283 46T331 77Q352 105 359 185L361 201Q361 202 381 202H401V196Q401 195 393 103T384 6V0H209L34 1L31 3Q28 8 28 17Q28 30 29 31T160 210T294 394H236Q169 393 152 388Q127 382 113 367Q89 344 82 264V255H42V263Z"></path><path id="MJX-325-TEX-N-77" d="M90 368Q84 378 76 380T40 385H18V431H24L43 430Q62 430 84 429T116 428Q206 428 221 431H229V385H215Q177 383 177 368Q177 367 221 239L265 113L339 328L333 345Q323 374 316 379Q308 384 278 385H258V431H264Q270 428 348 428Q439 428 454 431H461V385H452Q404 385 404 369Q404 366 418 324T449 234T481 143L496 100L537 219Q579 341 579 347Q579 363 564 373T530 385H522V431H529Q541 428 624 428Q692 428 698 431H703V385H697Q696 385 691 385T682 384Q635 377 619 334L559 161Q546 124 528 71Q508 12 503 1T487 -11H479Q460 -11 456 -4Q455 -3 407 133L361 267Q359 263 266 -4Q261 -11 243 -11H238Q225 -11 220 -3L90 368Z"></path><path id="MJX-325-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-325-TEX-N-79" d="M69 -66Q91 -66 104 -80T118 -116Q118 -134 109 -145T91 -160Q84 -163 97 -166Q104 -168 111 -168Q131 -168 148 -159T175 -138T197 -106T213 -75T225 -43L242 0L170 183Q150 233 125 297Q101 358 96 368T80 381Q79 382 78 382Q66 385 34 385H19V431H26L46 430Q65 430 88 429T122 428Q129 428 142 428T171 429T200 430T224 430L233 431H241V385H232Q183 385 185 366L286 112Q286 113 332 227L376 341V350Q376 365 366 373T348 383T334 385H331V431H337H344Q351 431 361 431T382 430T405 429T422 429Q477 429 503 431H508V385H497Q441 380 422 345Q420 343 378 235T289 9T227 -131Q180 -204 113 -204Q69 -204 44 -177T19 -116Q19 -89 35 -78T69 -66Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="78" xlink:href="#MJX-325-TEX-N-78"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-325-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1750.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="62" xlink:href="#MJX-325-TEX-N-62"></use><use data-c="7A" xlink:href="#MJX-325-TEX-N-7A" transform="translate(556,0)"></use><use data-c="77" xlink:href="#MJX-325-TEX-N-77" transform="translate(1000,0)"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3472.4,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-325-TEX-N-2E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3917.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="79" xlink:href="#MJX-325-TEX-N-79"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> -Richtung:</p>


<p>\[<br />h \sigma_{x}^{a}+h \sigma_{x}^{b}=0 \quad \Rightarrow \sigma_{x}^{a}=-\sigma_{x}^{b}<br />\]</p>
<p>\[<br />h \sigma_{y}^{a}+h \sigma_{y}^{b}=0 \quad \Rightarrow \sigma_{y}^{a}=-\sigma_{y}^{b}<br />\]</p>


<p>c) Spannung \( \sigma_{x}^{\text {a }} \) in Abhängigkeit von \( p \)</p>


<p>c) Spannung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sigma_{x}^{\text {a }} " style="vertical-align: -0.576ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.679ex" height="2.114ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -679.8 1184.3 934.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-328-TEX-I-1D70E" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path id="MJX-328-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 320T63 359Q63 394 97 421T218 448Q291 448 336 416T396 340Q401 326 401 309T402 194V124Q402 76 407 58T428 40Q443 40 448 56T453 109V145H493V106Q492 66 490 59Q481 29 455 12T400 -6T353 12T329 54V58L327 55Q325 52 322 49T314 40T302 29T287 17T269 6T247 -2T221 -8T190 -11Q130 -11 82 20T34 107Q34 128 41 147T68 188T116 225T194 253T304 268H318V290Q318 324 312 340Q290 411 215 411Q197 411 181 410T156 406T148 403Q170 388 170 359Q170 334 154 320ZM126 106Q126 75 150 51T209 26Q247 26 276 49T315 109Q317 116 318 175Q318 233 317 233Q309 233 296 232T251 223T193 203T147 166T126 106Z"></path><path id="MJX-328-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-328-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70E" xlink:href="#MJX-328-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(604,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="61" xlink:href="#MJX-328-TEX-N-61"></use><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-328-TEX-N-A0" transform="translate(500,0)"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(604,-247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-328-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> in Abhängigkeit von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" p " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-329-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45D" xlink:href="#MJX-329-TEX-I-1D45D"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\varepsilon=\varepsilon_{x}^{a}=\varepsilon_{x}^{b}=\varepsilon_{y}^{a}=\varepsilon_{y}^{b}<br />\]</p>


<p>\[ (1) \quad<br />E^{a} \varepsilon=\sigma_{x}^{a}-\nu^{a}\left(\sigma_{x}^{a}-p\right)<br />\]</p>
<p>\[(2) \quad<br />E^{b} \varepsilon=-\sigma_{x}^{a}-\nu^{b}\left(-\sigma_{x}^{a}-p\right)<br />\]</p>


<p>Aus <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="
(2) 
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.891ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1278 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-333-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-333-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-333-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-333-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-333-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-333-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> folgt</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\Rightarrow \varepsilon &amp;=-\frac{\sigma_{x}^{a}}{E^{b}}+\nu^{b} \frac{\sigma_{x}^{a}}{E^{b}}+\frac{\nu^{b} p}{E^{b}} \\\\<br />&amp;=\frac{-1+\nu^{b}}{E^{b}} \sigma_{x}^{a}+\frac{\nu^{b} p}{E^{b}}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(1) 
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.891ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1278 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-335-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-335-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-335-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-335-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-335-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-335-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt sich</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\Rightarrow \sigma_{x}^{a} &amp;=\frac{E^{a} \varepsilon-\nu^{a} p}{1-\nu^{a}}=\frac{E^{a}}{1-\nu^{a}} \frac{-1+\nu^{b}}{E^{b}} \sigma_{x}^{a}+\frac{E^{a}}{E^{b}} \frac{\nu^{b} p}{1-\nu^{a}}-\frac{\nu^{a} p}{1-\nu^{a}} \\\\<br />&amp;=\frac{\frac{E^{a}}{E^{b}} \frac{\nu^{b} p}{1-\nu^{a}}-\frac{\nu^{a} p}{1-\nu^{a}}}{\left(1+\frac{E^{a}}{1-\nu^{a}} \frac{1-\nu^{b}}{E^{b}}\right)} \\\\<br />&amp;=\frac{E^{a} \nu^{b} p-E^{b} \nu^{a} p}{\left(1-\nu^{a}\right) E^{b}+\left(1-\nu^{b}\right) E^{a}}<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p>Die beiden linear-elastischen Schichten a und b der Dicke \( h \) eines ebenen flächigen Verbundwerkstoffs seien fest miteinander verklebt. Es kann angenommen werden, dass in ihnen jeweils ein homogener (ortsunabhängiger) Spannungs- und Verzerrungszustand herrscht.</p>
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61012a4f5811a56d3cdc13d0.png" alt="Abbildung" /></p>
<p>Das Material ist in \( z \) -Richtung durch einen ortsunabhängigen Druck \( p \) belastet, d.h. \( \sigma_{z}^{\mathrm{a}}=\sigma_{z}^{\mathrm{b}}=-p \) Wegen des festen Verbundes ist \( \varepsilon_{x}^{\mathrm{a}}=\varepsilon_{x}^{\mathrm{b}} \) und \( \varepsilon_{y}^{\mathrm{a}}=\varepsilon_{y}^{\mathrm{b}} \)</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Welcher Zusammenhang besteht innerhalb jeder der beiden Schichten zwischen \( \sigma_{x} \) und \( \sigma_{y} \) sowie zwischen \( \varepsilon_{x} \) und \( \varepsilon_{y} \) ?  Beachten Sie, dass weder Geometrie noch Belastung von der \( x \) - bzw. \( y \) -Richtung abhängen!</li>
<li>Welcher Zusammenhang besteht zwischen \( \sigma_{x}^{\mathrm{a}} \) und \( \sigma_{x}^{\mathrm{b}} \) ? <br /><em>Beachten Sie, dass der Verbund in \( x \) - und \( y \) -Richtung unbelastet ist! </em></li>
<li>Geben sie die Spannung \( \sigma_{x}^{\text {a }} \) in Abhängigkeit von \( p \) an.</li>
</ol>
<p><strong>Gegeben</strong>: \( h, \ E^{\mathrm{a}}, \ E^{\mathrm{b}}, \ \nu^{\mathrm{a}}, \ \nu^{\mathrm{b}}, \ p \)</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: KIT - Klausuren - TM2 mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: