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Aufgabenstellung:

Abbildung

Eine homogene Walze (Masse , Radius ) wird aus der Ruhe losgelassen und beginnt unter dem Einfluss des Schwerefeldes auf der rauhen Bahn nach rechts zu rollen.

  1. Bestimmen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit im Punkt der Walze.
  2. Rechts vom Punkt soll für den Haftungskoeffizienten gelten, wobei der Übergang stoßfrei erfolgt. Bestimmen Sie die maximale Höhe .
  3. Bestimmen Sie die maximale Höhe für den Fall, das bereits ab dem Punkt die Haftung entfällt.
  4. Es wird nun ein Loch in die Mitte der Walze gebohrt. Der so enstehende Hohlzylinder wird wiederum in aus der Ruhe losgelassen. Bis zum Punkt soll der Hohlzylinder rollen. Ab soll erneut für den Haftungskoeffizienten gelten. Ist die so erreichte maximale Höhe größer oder kleiner als Begründen Sie Ihre Antwort.

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Schwerpunktsgeschwindigkeit

Energieerhaltungssatz

Kinetische Energie mit Rollbedingung . Zudem potentielle Energie aufstellen:

Abbildung

Damit folgt

Schwerpunktsgeschwindigkeit im Punkt

b) Maximale Höhe

Energieerhaltungssatz mit Aufspaltung der kinetischen Energie in rotorischen und translatorischen Anteil

Da der Übergang stoßfrei erfolgt gilt und es folgt aus dem Energieerhaltungssatz

c) Maximale Höhe

Da gilt folgt

d) Vergleich der maximalen Höhe mit

Geschwindigkeit im Punkt für den Hohlzylinder analog a)

Für den Hohlzylinder gilt unter Verwendung der Dichte

Abbildung

Damit folgt für die Höhe

Antwortsatz:

Mit und damit ebenfalls ausreichend

Lösung:

  1. SIehe Musterlösung.