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Aufgabenstellung:

Abbildung

Eine reibungsfrei gelagerte Rolle (Masse , Massenträgheitsmoment ) sei wie skizziert an einer Feder (Federsteifigkeit ) befestigt, sodass in vertikaler Richtung Schwingungen möglich sind. Ferner sei die Rolle über ein masseloses Seil mit einer zweiten Masse und einem viskosen Dämpfer verbunden.

  1. Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung des Systems in der Koordinate mit der Methode nach LAGRANGE.
  2. Ermitteln Sie die statische Ruhelage des Systems.
  3. Für die allgemeine Bewegung des Systems in Form einer gedämpften Schwingung bestimme man die Eigenkreisfrequenz und das Lehr'sche Dämpfungsmaß .

Gegeben:

Hinweis: Andere Lösungswege als die Methode nach LAGRANGE werden hier nicht aufgeführt.

Lösungsweg:

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a) Bewegungsgleichung nach Lagrange:

Geschwindigkeiten der Schwerpunkte:

Wichtig: Bewegt sich die Masse um , wird die Seillänge abgerollt und der Schwerpunkt der Rolle bewegt sich um

Skizze

Abbildung

Kinematik:

Kinetische Energie:

Potentielle Energie:

Generalisierte Kräfte (Nicht-Potentialkräfte):

Lagrange'sche Gleichung:

Bewegungsgleichung:

b) Statische Ruhelage

c) Eigenkreisfrequenz und das Lehr'sche Dämpfungsmaß

Lösung: