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Aufgabenstellung:

Abbildung

Eine anfangs mit der Winkelgeschwindigkeit rotierende homogene Walze wird zum Zeitpunkt mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit auf einer rauhen schiefen Ebene (Reibungskoeffizient , Neigungswinkel abgesetzt.

  1. Das System hat zwei Freiheitsgrade (wählen sie eine treffende Begründung):
    • weil es sich um ein ebenes Problem handelt,
    • weil die Koordinaten und die Rollbedingung erfüllen,
    • weil die Koordinaten und keiner kinematischen Bindung unterliegen.
  2. Fertigen sie ein Freikörperbild der Walze an und stellen Sie die Bewegungsgleichungen des Systems in den Koordinaten und auf.
  3. Bis zu welchem Zeitpunkt sind diese Bewegungsgleichungen gültig?

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Begründung für 2 Freiheitsgrade

Das System hat zwei Freiheitsgrade, weil die Koordinaten und keiner kinematischen Bindung unterliegen.

b) Freikörperbild und Bewegungsgleichungen aufstellen

Abbildung

Gleichgewichtsbedingungen:

mit

Coulomb'sche Reibung, Einsetzen der Normalkraft:

Einsetzen in Gleichgewicht in bzw. -Richtung liefert Bewegungsgleichungen:

c) Gültigkeit der Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen sind gültig, solange die Walze nicht rollt, also keine kinematische Bindung zwischen und besteht:

Anfangsbedingungen, Einsetzen in zeitintegrierte Bewegungsgleichungen:

Einsetzen von (2) und (3) in (1):

Auffösen nach Zeitpunkt :

Lösung:

  1. Weil die Koordinaten und keiner kinematischen Bindung unterliegen.