Geraden und Ebenen

Anwendungen (Vektoren)

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Kräfteparallelogramm

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[ \vec{p}=(-3,6,-9)^{\mathrm{t}},\quad \vec{q}=(4,-2,6)^{\mathrm{t}} \]</li>
<li>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;\vec{p}=\left(\begin{array}{c}<br />-2 \\<br />4 \\<br />-6<br />\end{array}\right) \end{aligned}\] \[\begin{aligned}<br />&amp;\vec{q}=\left(\begin{array}{l}<br />3 \\<br />0 \\<br />3<br />\end{array}\right)<br />\end{aligned}<br />\]</li>
</ol>

<p>a) parallel zu \( (2,-1,3)^{\mathrm{t}} \)</p>


<p>a) parallel zu <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" (2,-1,3)^{\mathrm{t}} " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.736ex" height="2.371ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -797.9 4303.4 1047.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-165-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-165-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-165-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-165-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-165-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-165-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-165-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-165-TEX-N-74" d="M27 422Q80 426 109 478T141 600V615H181V431H316V385H181V241Q182 116 182 100T189 68Q203 29 238 29Q282 29 292 100Q293 108 293 146V181H333V146V134Q333 57 291 17Q264 -10 221 -10Q187 -10 162 2T124 33T105 68T98 100Q97 107 97 248V385H18V422H27Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-165-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-165-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-165-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.7,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-165-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2111.7,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-165-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2611.7,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-165-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3056.3,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-165-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3556.3,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-165-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="74" xlink:href="#MJX-165-TEX-N-74"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />(1,4,-3)^{\mathrm{t}}=\underbrace{s(1,-2,3)^{\mathrm{t}}}_{\vec{p}}+\underbrace{t(2,-1,3)^{\mathrm{t}}}_{\vec{q}}<br />\]</p>


<p>\( \rightsquigarrow \) Aufstellen des linearen Gleichungssystems (überbestimmt)</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \rightsquigarrow " style="vertical-align: 0.188ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="0.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -417 1000 334" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-167-TEX-N-21DD" d="M76 230Q68 230 62 237T56 250Q56 257 63 264T91 291Q102 300 108 306L159 351Q168 356 177 351L218 316L303 239L353 195Q376 214 403 239L488 316L529 351Q538 356 546 351Q548 350 594 310L638 270H848L841 278Q813 309 792 344T763 396T755 416Q755 417 778 417H801Q817 367 856 323T943 250Q895 221 856 177T801 83H778Q755 83 755 84Q755 86 762 103T791 156T841 222L848 230H737Q625 230 622 232Q620 233 599 251T558 288L537 306Q537 305 451 228T362 149Q353 146 345 149Q341 150 255 227T169 306Q167 306 129 270Q123 265 115 257T102 245T93 237T84 232T76 230Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="21DD" xlink:href="#MJX-167-TEX-N-21DD"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Aufstellen des linearen Gleichungssystems (überbestimmt)</p>


<p>\[\begin{align}<br />1&amp;=s+2 t \quad (1)\\\\ 4&amp;=-2 s-t \quad(2) \\\\-3&amp;=3 s+3 t \quad(3)\end{align}<br />\]</p>


<p>Einsetzen von \( s=1-2 t\) Gleichung \((1)\) in Gleichung \( (2)\)</p>


<p>Einsetzen von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" s=1-2 t" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.923ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 4386 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-169-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-169-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-169-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-169-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-169-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-169-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 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xlink:href="#MJX-169-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3525,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-169-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4025,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-169-TEX-I-1D461"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Gleichung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(1)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.891ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1278 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-170-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-170-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.891ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1278 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-171-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-171-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-171-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-171-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-171-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-171-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[\begin{align}<br />4&amp;=-2(1-2 t)-t=-2+3 t \\\\\Rightarrow t&amp;=2 \\\\\Rightarrow s&amp;=1-2 t=-3\end{align}<br />\]</p>


<p>konsistent mit Gleichung \( (3):-3=3 s+3 t=-9+6 \) (andernfalls keine solche Zerlegung möglich)</p>


<p>konsistent mit Gleichung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" (3):-3=3 s+3 t=-9+6 " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.397ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 12109.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-173-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-173-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-173-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-173-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-173-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-173-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 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248Z"></path><path id="MJX-173-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1555.8,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-3A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2111.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2889.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3667.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4723.1,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5223.1,0)"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-173-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5914.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6914.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7414.6,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-173-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8053.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9109.1,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(9887.1,0)"><use data-c="39" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-39"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10609.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(11609.6,0)"><use data-c="36" xlink:href="#MJX-173-TEX-N-36"></use></g></g></g></svg></mjx-container> (andernfalls keine solche Zerlegung möglich)</p>


<p>resultierende Komponenten der Zerlegung:</p>


<p>\[ \vec{p}=(-3,6,-9)^{\mathrm{t}}, \vec{q}=(4,-2,6)^{\mathrm{t}} \]</p>


<p>b) in der Ebene <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" E: x+y-z=0 " style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.749ex" height="2.002ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 7403 885" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-175-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 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<p>Ansatz: \(\vec{v}=\vec{p}+\vec{q}\)</p>


<p>Ansatz: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\vec{v}=\vec{p}+\vec{q}" style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.059ex" height="2.353ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -846 4004 1040" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-176-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-176-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path><path id="MJX-176-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-176-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path id="MJX-176-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-176-TEX-I-1D45E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q340 441 372 389Q373 390 377 395T388 406T404 418Q438 442 450 442Q454 442 457 439T460 434Q460 425 391 149Q320 -135 320 -139Q320 -147 365 -148H390Q396 -156 396 -157T393 -175Q389 -188 383 -194H370Q339 -192 262 -192Q234 -192 211 -192T174 -192T157 -193Q143 -193 143 -185Q143 -182 145 -170Q149 -154 152 -151T172 -148Q220 -148 230 -141Q238 -136 258 -53T279 32Q279 33 272 29Q224 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-176-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(270.3,32) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-176-TEX-N-20D7"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(762.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-176-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1818.6,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45D" xlink:href="#MJX-176-TEX-I-1D45D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(334.8,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-176-TEX-N-20D7"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2543.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-176-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3544,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45E" xlink:href="#MJX-176-TEX-I-1D45E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(316.8,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-176-TEX-N-20D7"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\vec{v}=\underbrace{s(1,-2,3)^{\mathrm{t}}}_{\vec{p}}+\vec{q}<br />\]</p>


<p>\(<br />\vec{q} \in E \quad \Leftrightarrow \quad 0=\vec{q} \cdot \vec{n} \) mit \( \vec{n}=(1,1,-1)^{\mathrm{t}} \| \) Normale der Ebene</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="
\vec{q} \in E \quad \Leftrightarrow \quad 0=\vec{q} \cdot \vec{n} " style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.76ex" height="2.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -845 9618.1 1039" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-178-TEX-I-1D45E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q340 441 372 389Q373 390 377 395T388 406T404 418Q438 442 450 442Q454 442 457 439T460 434Q460 425 391 149Q320 -135 320 -139Q320 -147 365 -148H390Q396 -156 396 -157T393 -175Q389 -188 383 -194H370Q339 -192 262 -192Q234 -192 211 -192T174 -192T157 -193Q143 -193 143 -185Q143 -182 145 -170Q149 -154 152 -151T172 -148Q220 -148 230 -141Q238 -136 258 -53T279 32Q279 33 272 29Q224 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-178-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 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<p>\[\quad<br />\begin{aligned}<br />0 &amp;=\underbrace{(\vec{v}-\vec{p})}_{\vec{q}} \cdot \vec{n}=\left(\vec{v}-s(1,-2,3)^{\mathrm{t}}\right) \cdot \vec{n} \\\\<br />&amp;=\left(\begin{array}{c}<br />1 \\<br />4 \\<br />-3<br />\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}<br />1 \\<br />1 \\<br />-1<br />\end{array}\right)-s\left(\begin{array}{c}<br />1 \\<br />-2 \\<br />3<br />\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}<br />1 \\<br />1 \\<br />-1<br />\end{array}\right)\\\\&amp;=8-s(-4)  \\\\\Rightarrow s&amp;=-2<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Somit ergeben sich folgendes \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\):</p>


<p>Somit ergeben sich folgendes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\vec{p}" style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="2.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -845 503 1039" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-181-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path id="MJX-181-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45D" xlink:href="#MJX-181-TEX-I-1D45D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(334.8,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-181-TEX-N-20D7"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\vec{q}" style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.041ex" height="2.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -845 460 1039" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-182-TEX-I-1D45E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q340 441 372 389Q373 390 377 395T388 406T404 418Q438 442 450 442Q454 442 457 439T460 434Q460 425 391 149Q320 -135 320 -139Q320 -147 365 -148H390Q396 -156 396 -157T393 -175Q389 -188 383 -194H370Q339 -192 262 -192Q234 -192 211 -192T174 -192T157 -193Q143 -193 143 -185Q143 -182 145 -170Q149 -154 152 -151T172 -148Q220 -148 230 -141Q238 -136 258 -53T279 32Q279 33 272 29Q224 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-182-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45E" xlink:href="#MJX-182-TEX-I-1D45E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(316.8,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-182-TEX-N-20D7"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;\vec{p}=-2\left(\begin{array}{c}<br />1 \\<br />-2 \\<br />3<br />\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />-2 \\<br />4 \\<br />-6<br />\end{array}\right) \end{aligned}\]</p>


<p>\[\begin{aligned}<br />&amp;\vec{q}=\vec{v}-\vec{p}=\left(\begin{array}{c}<br />1 \\<br />4 \\<br />-3<br />\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}<br />-2 \\<br />4 \\<br />-6<br />\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}<br />3 \\<br />0 \\<br />3<br />\end{array}\right)<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p>Zerlegen Sie die Kraft \( \vec{v}=(1,4,-3)^{\mathrm{t}} \) in eine Komponente \( \vec{p} \) parallel zu \( (1,-2,3)^{\mathrm{t}} \) und eine Komponente \( \vec{q} \)</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>parallel zu \( (2,-1,3)^{\mathrm{t}} \)</li>
<li>in der Ebene \( E: x+y-z=0 \)</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Anwendungen (Vektoren) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: