Geraden und Ebenen

Anwendungen (Vektoren)

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Abstand zweier Geraden und nächst gelegene Punkte

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[d=9\]</li>
<li>\[<br />\vec{x}=(-5,-1,1)^{\mathrm{t}},\quad <br />\vec{y}=(-1,6,5)^{\mathrm{t}} <br />\]</li>
</ol>

<p>Differenzvektor der Punkte \( P \in g \) und \( Q \in h \)</p>


<p>Differenzvektor der Punkte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" P \in g " style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.544ex" height="2.009ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2450.6 888" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-106-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path><path id="MJX-106-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-106-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-106-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1028.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-106-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1973.6,0)"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-106-TEX-I-1D454"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" Q \in h " style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.859ex" height="2.032ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 2589.6 898" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-107-TEX-I-1D444" d="M399 -80Q399 -47 400 -30T402 -11V-7L387 -11Q341 -22 303 -22Q208 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435Q740 255 592 107Q529 47 461 16L444 8V3Q444 2 449 -24T470 -66T516 -82Q551 -82 583 -60T625 -3Q631 11 638 11Q647 11 649 2Q649 -6 639 -34T611 -100T557 -165T481 -194Q399 -194 399 -87V-80ZM636 468Q636 523 621 564T580 625T530 655T477 665Q429 665 379 640Q277 591 215 464T153 216Q153 110 207 59Q231 38 236 38V46Q236 86 269 120T347 155Q372 155 390 144T417 114T429 82T435 55L448 64Q512 108 557 185T619 334T636 468ZM314 18Q362 18 404 39L403 49Q399 104 366 115Q354 117 347 117Q344 117 341 117T337 118Q317 118 296 98T274 52Q274 18 314 18Z"></path><path id="MJX-107-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-107-TEX-I-210E" d="M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D444" xlink:href="#MJX-107-TEX-I-1D444"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1068.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-107-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2013.6,0)"><use data-c="210E" xlink:href="#MJX-107-TEX-I-210E"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\overrightarrow{P Q}=(2,2,9)^{\mathrm{t}}-(-7,-1,3)^{\mathrm{t}}=(9,3,6)^{\mathrm{t}}<br />\]</p>


<p>Zu den Richtungsvektoren \( \vec{u}, \vec{v} \) orthogonaler Vektor</p>


<p>Zu den Richtungsvektoren <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \vec{u}, \vec{v} " style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.397ex" height="2.353ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -846 1501.7 1040" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-109-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-109-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path><path id="MJX-109-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-109-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-109-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(313.8,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-109-TEX-N-20D7"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-109-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1016.7,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-109-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(270.3,32) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-109-TEX-N-20D7"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> orthogonaler Vektor</p>


<p>\[<br />\vec{w}=\vec{u} \times \vec{v}=\left(\begin{array}{c}<br />-1 \\<br />0 \\<br />1<br />\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}<br />-3 \\<br />4 \\<br />-4<br />\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />-4 \\<br />-7 \\<br />-4<br />\end{array}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />d=\frac{|[\overrightarrow{P Q}, \vec{u}, \vec{v}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}=\frac{|\overrightarrow{P Q} \cdot \vec{w}|}{|\vec{w}|}=\frac{|-36-21-24|}{\sqrt{16+49+16}}=\frac{81}{9}=9<br />\]</p>


<p>(b) Nächst gelegene Punkte \( X \in g \) und \( Y \in h \) :</p>


<p>(b) Nächst gelegene Punkte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" X \in g " style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.773ex" height="2.009ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2551.6 888" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-112-TEX-I-1D44B" d="M42 0H40Q26 0 26 11Q26 15 29 27Q33 41 36 43T55 46Q141 49 190 98Q200 108 306 224T411 342Q302 620 297 625Q288 636 234 637H206Q200 643 200 645T202 664Q206 677 212 683H226Q260 681 347 681Q380 681 408 681T453 682T473 682Q490 682 490 671Q490 670 488 658Q484 643 481 640T465 637Q434 634 411 620L488 426L541 485Q646 598 646 610Q646 628 622 635Q617 635 609 637Q594 637 594 648Q594 650 596 664Q600 677 606 683H618Q619 683 643 683T697 681T738 680Q828 680 837 683H845Q852 676 852 672Q850 647 840 637H824Q790 636 763 628T722 611T698 593L687 584Q687 585 592 480L505 384Q505 383 536 304T601 142T638 56Q648 47 699 46Q734 46 734 37Q734 35 732 23Q728 7 725 4T711 1Q708 1 678 1T589 2Q528 2 496 2T461 1Q444 1 444 10Q444 11 446 25Q448 35 450 39T455 44T464 46T480 47T506 54Q523 62 523 64Q522 64 476 181L429 299Q241 95 236 84Q232 76 232 72Q232 53 261 47Q262 47 267 47T273 46Q276 46 277 46T280 45T283 42T284 35Q284 26 282 19Q279 6 276 4T261 1Q258 1 243 1T201 2T142 2Q64 2 42 0Z"></path><path id="MJX-112-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-112-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44B" xlink:href="#MJX-112-TEX-I-1D44B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1129.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-112-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2074.6,0)"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-112-TEX-I-1D454"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" Y \in h " style="vertical-align: -0.09ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.795ex" height="1.661ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2561.6 734" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-113-TEX-I-1D44C" d="M66 637Q54 637 49 637T39 638T32 641T30 647T33 664T42 682Q44 683 56 683Q104 680 165 680Q288 680 306 683H316Q322 677 322 674T320 656Q316 643 310 637H298Q242 637 242 624Q242 619 292 477T343 333L346 336Q350 340 358 349T379 373T411 410T454 461Q546 568 561 587T577 618Q577 634 545 637Q528 637 528 647Q528 649 530 661Q533 676 535 679T549 683Q551 683 578 682T657 680Q684 680 713 681T746 682Q763 682 763 673Q763 669 760 657T755 643Q753 637 734 637Q662 632 617 587Q608 578 477 424L348 273L322 169Q295 62 295 57Q295 46 363 46Q379 46 384 45T390 35Q390 33 388 23Q384 6 382 4T366 1Q361 1 324 1T232 2Q170 2 138 2T102 1Q84 1 84 9Q84 14 87 24Q88 27 89 30T90 35T91 39T93 42T96 44T101 45T107 45T116 46T129 46Q168 47 180 50T198 63Q201 68 227 171L252 274L129 623Q128 624 127 625T125 627T122 629T118 631T113 633T105 634T96 635T83 636T66 637Z"></path><path id="MJX-113-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-113-TEX-I-210E" d="M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44C" xlink:href="#MJX-113-TEX-I-1D44C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1040.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-113-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1985.6,0)"><use data-c="210E" xlink:href="#MJX-113-TEX-I-210E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>Der Differenzvektor ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren, d.h.</p>


<p>Einsetzen von \( \vec{q}-\vec{p}=(9,3,6)^{\mathrm{t}} \):</p>


<p>Einsetzen von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \vec{q}-\vec{p}=(9,3,6)^{\mathrm{t}} " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.938ex" height="2.477ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -845 7044.4 1095" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-115-TEX-I-1D45E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q340 441 372 389Q373 390 377 395T388 406T404 418Q438 442 450 442Q454 442 457 439T460 434Q460 425 391 149Q320 -135 320 -139Q320 -147 365 -148H390Q396 -156 396 -157T393 -175Q389 -188 383 -194H370Q339 -192 262 -192Q234 -192 211 -192T174 -192T157 -193Q143 -193 143 -185Q143 -182 145 -170Q149 -154 152 -151T172 -148Q220 -148 230 -141Q238 -136 258 -53T279 32Q279 33 272 29Q224 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-115-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path><path id="MJX-115-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-115-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 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22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path><path id="MJX-115-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-115-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 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<p>\[<br />\left(\begin{array}{ccc}<br />9 &amp; -3 t &amp; +s \\<br />3 &amp; +4 t &amp; \\<br />6 &amp; -4 t &amp; -s<br />\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}<br />-1 \\<br />0 \\<br />1<br />\end{array}\right)=0, \quad\left(\begin{array}{ccc}<br />9 &amp; -3 t &amp; +s \\<br />3 &amp; +4 t &amp; \\<br />6 &amp; -4 t &amp; -s<br />\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}<br />-3 \\<br />4 \\<br />-4<br />\end{array}\right)=0<br />\]</p>


<p>\( s=-2, \quad t=1 \) \quad \rightsquigarrow \quad \) Punkte kürzesten Abstandes mit Ortsvektoren</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" s=-2, \quad t=1  \quad \rightsquigarrow \quad " style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.619ex" height="1.946ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 9997.6 860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-118-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-118-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-118-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-118-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-118-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-118-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-118-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-118-TEX-N-21DD" d="M76 230Q68 230 62 237T56 250Q56 257 63 264T91 291Q102 300 108 306L159 351Q168 356 177 351L218 316L303 239L353 195Q376 214 403 239L488 316L529 351Q538 356 546 351Q548 350 594 310L638 270H848L841 278Q813 309 792 344T763 396T755 416Q755 417 778 417H801Q817 367 856 323T943 250Q895 221 856 177T801 83H778Q755 83 755 84Q755 86 762 103T791 156T841 222L848 230H737Q625 230 622 232Q620 233 599 251T558 288L537 306Q537 305 451 228T362 149Q353 146 345 149Q341 150 255 227T169 306Q167 306 129 270Q123 265 115 257T102 245T93 237T84 232T76 230Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-118-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(746.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-118-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1802.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-118-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2580.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-118-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3080.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-118-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(3358.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4525.2,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-118-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5164,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-118-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6219.8,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-118-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(6719.8,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7997.6,0)"><use data-c="21DD" xlink:href="#MJX-118-TEX-N-21DD"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(8997.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g></g></g></svg></mjx-container> Punkte kürzesten Abstandes mit Ortsvektoren</p>


<p>Somit ergeben sich folgendes \(\vec{x}\) und \(\vec{y}\)</p>


<p>Somit ergeben sich folgendes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\vec{x}" style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.937ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -845 572 856" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-119-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-119-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-119-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(313.8,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-119-TEX-N-20D7"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\vec{y}" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="2.376ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -845 490 1050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-120-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-120-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-120-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(300.6,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-120-TEX-N-20D7"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\vec{x}=(-7,-1,3)^{\mathrm{t}}-2(-1,0,1)^{\mathrm{t}}=(-5,-1,1)^{\mathrm{t}} \]</p>


<p>\[<br />\vec{y}=(2,2,9)^{\mathrm{t}}+(-3,4,-4)^{\mathrm{t}}=(-1,6,5)^{\mathrm{t}}<br />\]</p>


<p>\[<br />d=|\vec{y}-\vec{x}|=\left|(4,7,4)^{\mathrm{t}}\right|=9 <br />\]</p>

<p>Gegeben sind die Gleichungen folgender Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />g:\left(\begin{array}{r}<br />-7 \\<br />-1 \\<br />3<br />\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}<br />-1 \\<br />0 \\<br />1<br />\end{array}\right), \quad h:\left(\begin{array}{l}<br />2 \\<br />2 \\<br />9<br />\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}<br />-3 \\<br />4 \\<br />-4<br />\end{array}\right)<br />\]</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden</li>
<li>Bestimmen Sie die nächst gelegenen Punkte</li>
</ol>

<p>Gegeben sind die Gleichungen folgender Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
g:\left(\begin{array}{r}
-7 \\
-1 \\
3
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \quad h:\left(\begin{array}{l}
2 \\
2 \\
9
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}
-3 \\
4 \\
-4
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<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden</li>
<li>Bestimmen Sie die nächst gelegenen Punkte</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Geraden und Ebenen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: