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Aufgabenstellung:

 

Abbildung

Eine vorgegebene Teilchenmenge des Gases Wasserstoff ist in einem Zylinder mit verschiebbarem Kolben eingeschlossen. Der Ausgangszustand ist gekennzeichnet durch die Zustandsgrößen und .

Das Gas wird einer Zustandsänderung unterworfen. Diese Zustandänderung erfolgt im -Diagramm längs einer Geraden vom Anfangs- zum Endzustand (vgl. Skizze). Der Endzustand ist bestimmt durch den Druck bar und das Volumen . Wasserstoff verhält sich im betrachteten Temperaturbereich wie ein ideales Gas.

  1. Welche Teilchenmenge des Gases ist in dem Zylinder eingeschlossen?

  2. Welche Endtemperatur wird erreicht?

  3. Berechnen Sie die Arbeit , die bei der beschriebenen Zustandsänderung umgesetzt wird. Wird sie dem System zu- oder abgeführt? Kurze Begründung.

  4. Bestimmen Sie die molare Wärmekapazität , wenn im betrachteten Temperaturbereich die Freiheitsgrade der Translation und der Rotation angeregt sind.

  5. Bestimmen Sie die Änderung der Inneren Energie des Systems bei der beschriebenen Zustandsänderung. Nimmt die Innere Energie zu oder ab? Bitte eine kurze Begründung.

  6. Welche Wärme wird bei der Zustandsänderung übertragen? Wird sie dem System zugeführt oder entzogen? Kurze Begründung.

Lösungsweg:

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(a) Teilchenmenge  

Die Teilchenmenge des Gases erhält man aus der Zustandsgleichung für den Zustand '1'

(b) Endtemperatur

Die Endtemperatur erhält man durch die Verknüpfung der Zustände '1' und '2'

daraus

Dies liefert die CELSIUS Temperatur

(c) Arbeit

Der Betrag der am Gas verrichteten Arbeit wird repräsentiert durch die Fläche unter der -Kurve im -Diagramm, also der Fläche eines Trapezes. Dabei ist die Vorzeichenkonvention zu berücksichtigen; bei einer Expansion wird Arbeit abgegeben, das Vorzeichen ist negativ.
Unter Berücksichtigung des Vorzeichens ergibt sich

(d) molare Wärmekapazität

Die molare isochore Wärmekapazität bestimmt sich aus den Freiheitsgraden eines idealen Gases, bestehend aus zweiatomigen Molekülen - hier als Arbeitsgas Wasserstoff. Nimmt man für das zweiatomiges Molekül an, dass im betrachteten Temperaturbereich auch die Freiheitsgrade der Rotation angeregt sind, dann ist die Anzahl der Freiheitsgrade

Die molare isochore Wärmekapazität bestimmt sich aus zu

(e) Änderung  

Die Änderung der Inneren Energie hängt lediglich von der Temperaturdifferenz zweier Zustände ab und beträgt

Ein positives Vorzeichen bedeutet für den Prozess eine Zunahme der Inneren Energie.

(f) Wärme

Die Ergebnisse dieser Teilaufgaben (c), (d) und (e) sind nicht unabhängig voneinander. Die Änderung der Inneren Energie , die umgesetzte Wärme und die umgesetzte Arbeit sind über den 1. Hauptsatz miteinander verknüpft; es gilt

Hat man zwei der physikalischen Größen und unabhängig voneinander bestimmt, dann erhält man die dritte aus dem 1. Hauptsatz. Zur Probe kann natürlich dann die dritte Größe ebenfalls unabhängig bestimmt werden.

Mit dem 1. Hauptsatz folgt für die übertragene Wärme

Die zugeführte Wärme wird umgesetzt in eine Erhöhung der Inneren Energie um und in abgegebene Volumenänderungsarbeit .

Lösung:

  2. bzw.

  3.  

  4.