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Aufgabenstellung:

Ein nicht dehnbarer, luftdichter Plastiksack hat ein Maximalvolumen . Der Plastiksack ist in einem Wasserreservoir in einer Tiefe festgemacht.

Hinweis: Die Abmessungen des Plastiksacks sollen als klein gegen die Tiefe angenommen werden.
Der Plastiksack ist dort nicht prall, sondern nur bis zu einem Volumen mit Stickstoff gefült. Das Füllgas hat die Temperatur des umgebenden Wassers.
Die Verankerung wird gelöst, und der Plastiksack steigt zur Oberfläche hoch. Dort herrscht der Luftdruck bar, die Wassertemperatur ist .

a) Nach einiger Zeit hat das Füllgas im schwimmenden Plastiksack an der Wasseroberfläche die Wassertemperatur der Umgebung angenommen. Ist der Sack dann prall gefült? (Kurze Begründung.)

b) Welche Stoffmenge des Stickstoffgases enthält der Plastiksack?

Betrachten Sie für den Wärmeaustausch des Füllgases mit der Umgebung zwei idealisierte - Grenzfälle.

1. Das Gas im Plastiksack behält (1) beim Aufsteigen zunächst die Temperatur bei und erwärmt sich (2) erst an der Wasseroberfläche, bei dem dort herrschenden Druck, auf die Temperatur .

c) Welche Wärme nimmt bei diesen Prozessen das Füllgas aus dem Wasser auf?

2. Der Plastiksack steigt so rasch auf, dass dabei (1) das Füllgas keine Wärme aus dem Wasser aufnimmt und (2) erst nach einiger Zeit an der Oberfläche die Temperatur annimmt?

d) Welche Wärme wird bei diesen Prozessen insgesamt vom Füllgas aufgenommen

Nehmen Sie Stickstoff als ideales zweiatomiges Gas (starres Hantelmodell) an.

Lösungsweg:

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(a) Berechnung des Volumens bei Wassertemperatur

Der Druck unter der Wasseroberfläche ist die Summe aus dem äußeren herrschenden Luftdruck und dem hydrostatischen Druck der Wassersäule

Aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases und der Forderung folgt

und damit für das Volumen

Weil ist der Plastiksack nicht prall gefüllt;

(b)  Stoffmenge des Stickstoffgases im Plastiksack

Die Stoffmenge erhält man aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases für den Anfangszustand '1'

(c) Wärme

1. Teilprozess:

Aufstieg bei konstanter Temperatur - isotherme Wärmeaufnahme bei Ausdehnung des Füllgases

2. Teilprozess:

Isobare Erwärmung von auf

Die molare isobare Wärmekapazitäten bestimmt sich aus den Freiheitsgraden eines idealen zweiatomigen Gases. Nimmt man für ein zweiatomiges Stickstoff Molekül an, dass im betrachteten Temperaturbereich auch die Freiheitsgrade der Rotation angeregt sind, dann ist

Die molare isobare Wärmekapazität bestimmt sich aus zu

Damit wird

Die bei Aufsteigen und Aufwärmen insgesamt zugeführte Wärme ist damit

(d) aufgenommene Wärme

1. Teilprozess:

Rasches Aufsteigen ohne Wärmeaustausch - isentrope Abkühlung auf

Bei einem isentropen Prozess in einem adiabaten System wird keine Wärme ausgetauscht, also

2. Teilprozess:

Isobare Erwärmung von auf

Man muss zunächst Temperatur bestimmen, die sich nach Aufsteigen einstellt. Die Isentropengleichung, die Druck und Temperatur miteinander verknüpft, liefert für die Zustände '1' und '3'

dabei gilt

Der Isentropenexponent ergibt sich aus der Zahl der Freiheitsgrade eines Moleküls (bestimmt in Teilaufgabe (c)) zu

Damit ergibt sich

Die molare isobare Wärmekapazität bestimmt sich aus der Anzahl der Freiheitsgrade (bestimmt in Teilaufgabe (c)) zu

Damit wird die für den isobaren Prozess '3' '2' zugeführte Wärme

Insgesamt aufgenommene Wärme also

Lösung:

  1. nicht prall gefüllt

  3. .

  4. .