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Aufgabenstellung:

Die Teilchenmenge des (idealen) Gases Helium (He) soll auf ein Zehntel seines Anfangsvolumens komprimiert werden. Die Anfangstemperatur ist , der Anfangsdruck ist bar . Die Kompression soll durch drei verschiedene thermodynamische Prozesse erfolgen

  1. isotherm,

  2. isentrop in einem adiabaten System und

  3. isobar.

Stellen Sie die zugehörigen Prozesse jeweils in einem -Diagramm grafisch dar und berechnen Sie jeweils

  1. den sich einstellenden Enddruck ,
  2. die sich einstellende Endtemperatur .
    Geben Sie ferner für jeden der drei Prozesse an,
  3. ob am Gas Arbeit verrichtet wird, oder ob das Gas nach außen Arbeit abgibt (Begründung angeben!). Berechnen Sie diese Volumenänderungsarbeiten für die Teilchenmenge .
  4. ob dabei Wärme zu- oder abgeführt wird (Begründung angeben!). Berechnen Sie die übertragenen Wärmen für die Teilchenmenge .

Argumentieren Sie zunächst qualitativ anhand eines Zustandsdiagramms für die jeweilige spezielle Zustandsänderung.
Führen Sie erst dann die (teilweise aufwendigen) quantitativen Rechnungen durch.

Lösungsweg:

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Vorüberlegungen - Allgemeine Grundlagen

Die Zustandsgleichung eines idealen Gases lautet

Für die Berechnung der übertragenen Wärmen und Arbeiten gilt der 1. Hauptsatz der Wärmelehre; in differentieller Form

Für einen Prozess vom Anfangszustand 'A' in den Endzustand 'E' ergibt sich also nach Integration

Dabei ist die Änderung der Inneren Energie , darstellbar als Differenz der Inneren Energien des End- und Anfangszustandes. Die Innere Energie ist eine Zustandsfunktion, nur abhängig vom Zustand und nicht davon, wie das Gas in diesen Zustand gekommen ist. Für eine Zustandsfunktion genügt deshalb als Indizierung die Angabe des Zustandes; also 'E' für den Endzustand und 'A' für den Anfangszustand.

Für die Prozessgrößen Wärme und Arbeit ist eine Doppelindizierung zur Angabe des thermodynamischen Weges notwendig; also einen Prozess von einem Anfangszustand ' ' in einen Endzustand 'E'. Dabei sind und die bei dem Prozess

Die Vorzeichenkonvention legt fest

  • dem System zugeführte Wärmen und Arbeiten zählen positiv,
  • vom System verrichtete Arbeiten und abgegebene Wärmen zählen negativ.

Für ein ideales Gas hängt die Innere Energie allein und nur von der absoluten Temperatur ab; also

des thermodynamischen Prozesses. Für die ausgetauschten Wärmen gilt mit oder

Für die umgesetzten Volumenänderungsarbeiten gilt

In integraler Darstellung wird daraus

[falls const. ; also temperaturunabhängig ist]

Diese Beziehungen werden im Folgenden auf drei spezielle Zustandsänderungen angewandt.

Wesentlich bei der Berechnung der Wärmekapazitäten bzw. und des Isentropenexponenten ist allein die Zahl der Freiheitsgrade der Moleküle. Ein Freiheitsgrad beschreibt eine unabhängige Möglichkeit eines Moleküls, Energie aufzunehmen. Es gibt Freiheitsgrade der Translation, der Rotation und der Oszillation. Bei dem in der Aufgabe vorliegenden Gas Helium sind die Verhältnisse besonders einfach. Als Edelgas (mit einer abgeschlossenen Elektronenhülle) bildet Helium keine Moleküle, es existiert als einatomiges Gas, das nur die drei Freiheitsgrade der Translation hat. Damit liegen die Verhältnisse einfacher als bei zwei- oder mehratomigen Gasen, bei denen Rotationen und Oszillationen angeregt sein können, also mögliche Temperaturabhängigkeiten der Wärmekapazitäten zu berücksichtigen sind.

Die Ergebnisse der kinetischen Theorie liefern

allgemein

spezielle für He mit

(a) Isotherme Zustandsänderung

Damit wird eine Zustandsänderung beschrieben, für die die Temperatur konstant gehalten wird. Wegen const. ist .

Aus der thermischen Zustandsgleichung eines idealen Gases

folgt speziell

Im -Diagramm werden die Isothermen durch Hyperbeln dargestellt.

Skizze

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(a1) Enddruck

Der Enddruck ergibt sich aus der Beziehung

mit der Zusatzforderung wird daraus

(a2) Endtemperatur

Für einen isothermen Prozess ist die Temperatur konstant, also gilt

(a3) Volumenänderungsarbeiten

Das Gas wird (von außen) komprimiert, damit wird am Gas Arbeit verrichtet. Erinnerung: Die von außen aufgewandte Arbeit ergibt sich durch Integration zu

mit

wird für eine isotherme Zustandsänderung

Da sich und bei diesem Prozess nicht ändern, wurden sie als konstant vor das Integral gezogen.
Zahlenwerte:

(a4) übertragenen Wärmen

Am Gas wird nach Teilaufgabe (a3) Arbeit verrichtet. Da sich bei einem isothermen Prozess die Temperatur nicht ändert, muss dabei Wärme abgegeben werden.
Nach dem 1. Hauptsatz ist (differentielle Schreibweise)

Da , wird mit const. auch const. und .
Die Innere Energie ändert sich bei einem isothermen Prozess nicht.

Damit wird

und in integraler Darstellung

Das Minus-Vorzeichen steht für die Abgabe von Wärme. Die Energiebilanz ist damit ausgeglichen.

(b) Isentrope Zustandsänderung

Bei dieser Zustandsänderung wird der Wärmeaustausch über die Systemgrenze vollständig unterdrückt (abgeschlossenes System).

Für ein adiabates System gilt die Forderung

Der 1. Hauptsatz liefert speziell für ein adiabates System

Wird also Arbeit am System verrichtet, dann erhöht sich die Innere Energie; und weil die Innere Energie nur von der absoluten Temperatur abhängt damit auch die Temperatur. Für die Zustandsänderungen sind die Isentropengleichungen heranzuziehen. In ihnen tritt der Isentropenexponent auf. Es ist

Skizze

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(b1)

Man benutzt zweckmäßigerweise die Isentropengleichung, die Druck und Volumen miteinander verknüpft; also

(b2) Endtemperatur

Man benutzt zweckmäßigerweise die Isentropengleichung, die Volumen und Temperatur miteinander verknüpft; also

(b3) Volumenänderungsarbeiten

Das Gas wird komprimiert von auf Bei einer Kompression wird am Gas von außen Arbeit verrichtet.

Die am Gas verrichtete Arbeit bestimmt man am einfachsten über den Hauptsatz. Dieser reduziert sich für eine isentrope Zustandsänderung wegen des unterdrückten Wärmeaustausches oder auf

Damit entspricht der am Gas verrichteten Arbeit eine Erhöhung der Inneren Energie .

Für die Änderung der Inneren Energie gilt in differentieller Schreibweise

oder nach Integration

Die molare isochore Wärmekapazität hängt für ein einatomiges Gas nicht von der Temperatur ab. Sie ist konstant und gegeben durch

ist die Anfangstemperatur [bekannt nach Aufgabenstellung],

ist die Endtemperatur [berechnet in Teilaufgabe (b2)]

Damit ergibt sich

alternativer Lösungsweg

Die aufgewendete Arbeit kann natürlich auch direkt durch Integration des Ausdrucks berechnet werden

Es ergibt sich

Einsetzen der Isentropengleichung, die Druck und Volumen miteinander verknüpft, liefert zusammen mit den Zustandsgrößen und des Anfangszustandes

man erhält

Da und konstant sind, können sie vor das Integral gezogen werden.

Es bleibt jetzt nur noch die Zahlenrechnung auf dem Taschenrechner, doch können die obigen Ausdrücke durch Umformen vereinfacht werden (als einfaches Übungsbeispiel zur Potenzrechnung). Darauf soll hier allerdings verzichtet werden.

(b4) übertragenen Wärmen

Bei einem isentropen Prozess in einem adiabaten System wird per definitionem keine Wärme über die Systemgrenze ausgetauscht. Es gilt die Bedingung

oder

(c) Isobare Zustandsänderung

Damit wird eine Zustandsänderung beschrieben, für die der Druck konstant gehalten wird. Es folgt speziell für eine isobare Zustandsänderung

Im - Diagramm sind die Isobaren Geraden konstanten Druckes und damit Paraltelen zur - Achse.

Wegen const. ist .

Aus der thermischen Zustandsgleichung eines idealen Gases

Skizze

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(c1)

Der Enddruck ist für einen isobaren Prozess per Definition gleich dem Anfangsdruck

(c2) Endtemperatur

Die Endtemperatur ergibt sich aus der speziellen Zustandsgleichung zu

Anmerkung

Helium hat von allen Gasen den niedrigsten Siedepunkt (bei Normdruck).
Es ist

Unter den gegebenen Versuchsbedingungen darf deshalb Helium mit hinreichender Genauigkeit als ideales Gas behandelt werden.

(c3) Volumenänderungsarbeiten

Das Gas wird komprimiert, also wird am Gas Arbeit verrichtet.

Die von außen aufzuwendende Arbeit ergibt sich durch Integration von

zu

mit const.
lässt sich dies schreiben als

Das Anfangsvolumen lässt sich aus der Zustandsgleichung für ein ideales Gas für den Zustand ' 0 ' darstellen als

Damit wird

Lösung:

ä