Rikuti

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

<p>\( \underline{A}=\{ \) mind. eine sechs bei vier Würfen \( \} \)</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \underline{A}=\{ " style="vertical-align: -0.717ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.845ex" height="2.414ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2583.6 1067" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-127-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-127-TEX-S4-2013" d="M0 248V285H499V248H0Z"></path><path id="MJX-127-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-127-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 -213 431 -216Q434 -219 434 -231Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munder"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-127-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,-465)"><svg width="750" height="237" x="0" y="148" viewBox="187.5 148 750 237"><use data-c="2013" xlink:href="#MJX-127-TEX-S4-2013" transform="scale(2.25,1)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-127-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2083.6,0)"><use data-c="7B" xlink:href="#MJX-127-TEX-N-7B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mind. eine sechs bei vier Würfen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \} " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 500 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-128-TEX-N-7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="7D" xlink:href="#MJX-128-TEX-N-7D"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\(<br />\bar{A}=\{ \) keine sechs bei vier Würfen \( \} <br />\)</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="
\bar{A}=\{ " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.845ex" height="2.753ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -967 2583.6 1217" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-129-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-129-TEX-N-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path><path id="MJX-129-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-129-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 -213 431 -216Q434 -219 434 -231Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-129-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(514,277) translate(-250 0)"><use data-c="AF" xlink:href="#MJX-129-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-129-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2083.6,0)"><use data-c="7B" xlink:href="#MJX-129-TEX-N-7B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> keine sechs bei vier Würfen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \} 
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 500 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-130-TEX-N-7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="7D" xlink:href="#MJX-130-TEX-N-7D"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\mathbf{P}(A)=1-\mathbf{P}(\bar{A})=1-\frac{5^{4}}{6^{4}}=1-0.4823=0.5177<br />\]</p>


<p>( \( 6^{4} \) gleichwahrscheinliche Versuchsausgänge, \( 5^{4} \) günstig für \( \bar{A} \), d.h. keine '6', nur '1',..,'5')</p>


<p>( <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 6^{4} " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.119ex" height="1.954ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 936.6 863.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-132-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path><path id="MJX-132-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mn"><use data-c="36" xlink:href="#MJX-132-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-132-TEX-N-34"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> gleichwahrscheinliche Versuchsausgänge, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 5^{4} " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.119ex" height="1.954ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 936.6 863.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-133-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-133-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-133-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-133-TEX-N-34"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> günstig für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \bar{A} " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="2.188ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -967 750 967" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-134-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-134-TEX-N-AF" d="M69 544V590H430V544H69Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-134-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(514,277) translate(-250 0)"><use data-c="AF" xlink:href="#MJX-134-TEX-N-AF"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>, d.h. keine '6', nur '1',..,'5')</p>


<p>\[<br />A=\{\text { mind. ein }(6,6) \text { bei } 24 \text { Würfen zweier Würfel }\}<br />\]</p>


<p>\[<br />\bar{A}=\{\text { kein }(6,6) \text { bei } 24 \text { Würfen zweier Würfel }\}<br />\]</p>


<p>\[<br />B_{k}=\{(6,6) \text { beim } k \text {-ten Wurf }\} \quad k=1, \ldots, 24<br />\]</p>


<p>\[<br />\overline{B_{k}}=\{\text { nicht }(6,6) \text { beim } k \text {-ten Wurf }\} \quad k=1, \ldots, 24<br />\]</p>


<p>\[<br />\Longrightarrow \quad \bar{A}=\overline{B_{1}} \cap \cdots \cap \overline{B_{24}}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\mathbf{P}(A) &amp;=1-\mathbf{P}(\bar{A})=1-\mathbf{P}\left(\overline{B_{1}} \cap \cdots \cap \overline{B_{24}}\right) \\<br />&amp;=1-\frac{35^{24}}{36^{24}} \quad(\text { vgl. } 24 \text {-facher Wurf eines 36-flächigen "Würfels" }) \\<br />&amp;=1-0.5086=0.4914<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>(i) Rechenregeln für unabhängige Ereignisse liefern direkt:</p>


<p>\[<br />\mathbf{P}\left(\overline{B_{1}} \cap \cdots \cap \overline{B_{24}}\right)=\prod_{k=1}^{24} \mathbf{P}\left(\overline{B_{k}}\right)=\left(\frac{35}{36}\right)^{24}<br />\]</p>


<p>(ii) " Proportionalität " gilt nicht :</p>


<p>\[<br />\mathbf{P}(\{(6,6) \text { bei } 1 \text { Wurf von } 2 \text { Würfeln }\})=\frac{1}{6} \mathbf{P}\left(\left\{6^{\prime} \text { bei } 1 \text { Wurf eines Würfels }\right\}\right)<br />\]</p>


<p>\[\Rightarrow<br />\mathbf{P}(\{(6,6) \text { bei } 6 n \text { Würfen zweier Würfel }\})=\mathbf{P}(\{' 6 \text { ' bei } n \text { Würfen eines Würfels }\})<br />\]</p>


<p>Was ist wahrscheinlicher:</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Beim Werfen von vier Würfeln auf wenigstens einem eine Sechs zu erzielen, oder</li>
<li>bei 24 Würfen von zwei Würfeln wenigstens einmal zwei Sechsen zu erhalten?</li>
</ol>
<p>(Dieses Problem wurde im 17. Jahrhundert von Chevalier de Mere gestellt. Er nahm an, daß beide Wahrscheinlichkeiten gleich seien und bat Pascal um Überprüfung. Dieser fand zusammen mit Fermat die richtige Lösung.)</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Rikuti mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: