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Aufgabenstellung:

Eine Pumpe sei ununterbrochen in Betrieb, bis sie ausfalle. Die Zufallsgröße , die die zufällige Dauer der Funktionsfähigkeit der Pumpe beschreibt, möge stetig verteilt sein mit einer Dichte der Form , (Gammaverteilung). Weiter sei bekannt, daß Pumpen dieser Art im Mittel 100 Stunden laufen, bis sie ausfallen.

  1. Wie ist der Parameter zu wählen, damit der Erwartungswert von gleich der mittleren Laufzeit dieser Pumpen ist ?
  2. Man bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten :
  3. Man löse a) und b) wenn die Dichte der Exponentialverteilung , verwendet wird.

Lösungsweg:

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- Lebensdauer
Gammaverteilung:

- Dabei ist ; (dann gilt und speziell für

- Spezialfall ganzzahlig Erlangverteilung mit Parametern und

Skizze

Abbildung

a)

Geg.: Ges.:

Bestimmen zunächst aus der Def. der Verteilung:

D.h.

(Eine weitere Möglichkeit wäre, den Erwartungswert der Gammaverteilung aus Tabellen o. ä. zu erhalten: (da hier ).)

b)

Benötigen zunächst Verteilungsfunktion :

Berechnen jetzt die gesuchten Wahrscheinlichkeiten:

- Pumpe funktioniert höchstens

- Pumpe funkioniert höchstens (noch) , nachdem sie bereits lief

- Pumpe funkioniert höchstens (noch) , nachdem sie bereits lief

Vermutung: ist monoton wachsend. Je älter die Pumpe, so wahrscheinlicher der Ausfall.

Frage: Gilt das auch für die Exponentialverteilung?

c)

Exponentialverteilung:

(Das entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern und bzw. einer Erlangverteilung mit den Parametern und .)

- , wenn

- Verteilungsfunktion:

-

Pumpe scheint nicht zu altern.

Genauer: Man kann zeigen: .

Typische Eigenschaft der Exponentialverteilung ( Gedächtnislosigkeit).

Lösung:

siehe Lösungsweg