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Aufgabenstellung:

Die Zufallsgröße besitze eine Erlangverteilung mit der Dichtefunktion

(Spezialfall der Gammaverteilung mit den Parametern und ).
Man zeige, daß dann für die Verteilungsfunktion von gilt

Hinweis: ist darstellbar als Summe von unabhängigen und (mit dem Parameter ) identisch exponentialverteilten Zufallsgrößen, Zusammenhang zur Poissonverteilung nutzen

Lösungsweg:

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- Ohne Verwendung des Hinweises:

Betrachten , partielle Integration mit :

Denn:

Behauptung durch Einsetzen von in obige Formel.

- Mit Verwendung des Hinweises:

Wir betrachten

, also

, also

beschreibt die Zahl der Ausfälle im Intervall .

Die seien i.i.d., sie beschreiben jeweils die Zeit bis zum ersten Ausfall, sind also Lebensdauern.

Es gilt

Summe von zufälligen Lebensdauern. (Ein Ausfall führt zum sofortigen Ersetzen.) Die Anzahl der Ausfälle ist Poissonverteilt.

öä

Lösung:

siehe Lösungsweg