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Aufgabenstellung:

Es werden zwei Würfel geworfen, und bezeichnen die Augenzahlen des 1. und Würfels, sei die Augensumme. Man bestimme

  1. ,
  2. ,
  3. die Verteilung von ,
  4.  .

Lösungsweg:

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Sei die Augenzahl des -ten Würfels ,
sei die Augensumme, d. h. .

ist dann eine Zufallsgröße mit Werten .
Dabei ist eine Zahl (,,üblicher"Erwartungswert).
Für die einzelnen Teilaufgaben existieren natürlich unterschiedliche Lösungswege, die einzelnen Anstriche kennzeichnen im folgenden alternative Lösungsmöglichkeiten.

a)

Augensumme 9 kann nur bei folgenden gewürfelten Paaren auftreten: .
Unter der Bedingung, daß die Augensumme 9 beträgt, ist es daher unmöglich, daß der erste Würfel die Augenzahl 1 oder 2 zeigt, die Augenzahlen 3 bis 6 sind dagegen gleichwahrscheinlich. Wir erhalten also:

b)

ist (konstanter) Wert der Zufallsgröße auf dem Atom der von erzeugten Zerlegung .

Es gilt:

und andererseits

Wegen der Definition des bedingten Erwartungswertes ist aber

Wegen ist schließlich

c)

ist Zufallsgröße mit Werten .
Wie in Teilaufgabe erhält man für leicht:

Gesucht werden jetzt also die Wahrscheinlichkeiten .

Man zeigt, daß gilt:

Die Verteilung von läßt sich leicht über die klassische Methode bestimmen (Dreieckverteilung). Damit gilt dann:

Bemerkung:

Die Beziehung kann man z. B. über die klassische Methode erhalten oder über folgende Überlegung:

Betrachten

d)

Es gilt:

Es gilt:

Lösung:

siehe Lösungsweg