Rikuti

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

<p>\( \xi_{1}, \ldots, \xi_{n} \) i.i.d.</p>


<p>\(<br />\tau \) von \( \xi_{1}, \ldots, \xi_{n} \) unabhängig, \( \tau \in\{1, \ldots, n\} <br />\)</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="
\tau " style="vertical-align: -0.029ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.17ex" height="1.005ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 517 444" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-177-TEX-I-1D70F" d="M39 284Q18 284 18 294Q18 301 45 338T99 398Q134 425 164 429Q170 431 332 431Q492 431 497 429Q517 424 517 402Q517 388 508 376T485 360Q479 358 389 358T299 356Q298 355 283 274T251 109T233 20Q228 5 215 -4T186 -13Q153 -13 153 20V30L203 192Q214 228 227 272T248 336L254 357Q254 358 208 358Q206 358 197 358T183 359Q105 359 61 295Q56 287 53 286T39 284Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70F" xlink:href="#MJX-177-TEX-I-1D70F"></use></g></g></g></svg></mjx-container> von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \xi_{1}, \ldots, \xi_{n} " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.158ex" height="2.057ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 4047.8 909" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-178-TEX-I-1D709" d="M268 632Q268 704 296 704Q314 704 314 687Q314 682 311 664T308 635T309 620V616H315Q342 619 360 619Q443 619 443 586Q439 548 358 546H344Q326 546 317 549T290 566Q257 550 226 505T195 405Q195 381 201 364T211 342T218 337Q266 347 298 347Q375 347 375 314Q374 297 359 288T327 277T280 275Q234 275 208 283L195 286Q149 260 119 214T88 130Q88 116 90 108Q101 79 129 63T229 20Q238 17 243 15Q337 -21 354 -33Q383 -53 383 -94Q383 -137 351 -171T273 -205Q240 -205 202 -190T158 -167Q156 -163 156 -159Q156 -151 161 -146T176 -140Q182 -140 189 -143Q232 -168 274 -168Q286 -168 292 -165Q313 -151 313 -129Q313 -112 301 -104T232 -75Q214 -68 204 -64Q198 -62 171 -52T136 -38T107 -24T78 -8T56 12T36 37T26 66T21 103Q21 149 55 206T145 301L154 307L148 313Q141 319 136 323T124 338T111 358T103 382T99 413Q99 471 143 524T259 602L271 607Q268 618 268 632Z"></path><path id="MJX-178-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-178-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-178-TEX-N-2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0T543 17T525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0T990 17T972 60Z"></path><path id="MJX-178-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D709" xlink:href="#MJX-178-TEX-I-1D709"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(471,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-178-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(874.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-178-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1319.2,0)"><use data-c="2026" xlink:href="#MJX-178-TEX-N-2026"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2657.9,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-178-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3102.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D709" xlink:href="#MJX-178-TEX-I-1D709"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(471,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-178-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> unabhängig, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \tau \in\{1, \ldots, n\} 
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.728ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6067.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-179-TEX-I-1D70F" d="M39 284Q18 284 18 294Q18 301 45 338T99 398Q134 425 164 429Q170 431 332 431Q492 431 497 429Q517 424 517 402Q517 388 508 376T485 360Q479 358 389 358T299 356Q298 355 283 274T251 109T233 20Q228 5 215 -4T186 -13Q153 -13 153 20V30L203 192Q214 228 227 272T248 336L254 357Q254 358 208 358Q206 358 197 358T183 359Q105 359 61 295Q56 287 53 286T39 284Z"></path><path id="MJX-179-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-179-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 -213 431 -216Q434 -219 434 -231Z"></path><path id="MJX-179-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-179-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-179-TEX-N-2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0T543 17T525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0T990 17T972 60Z"></path><path id="MJX-179-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-179-TEX-N-7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70F" xlink:href="#MJX-179-TEX-I-1D70F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(794.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-179-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1739.6,0)"><use data-c="7B" xlink:href="#MJX-179-TEX-N-7B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2239.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-179-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2739.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-179-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3184.2,0)"><use data-c="2026" xlink:href="#MJX-179-TEX-N-2026"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4522.9,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-179-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4967.6,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-179-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5567.6,0)"><use data-c="7D" xlink:href="#MJX-179-TEX-N-7D"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />S_{\tau}=\sum_{k=1}^{\tau} \xi_{k} \) (zufällig gestoppte Summe, \( \nearrow \) Bedeutung in sequentieller Statistik)</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
S_{\tau}=\sum_{k=1}^{\tau} \xi_{k} " style="vertical-align: -2.864ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.075ex" height="6.381ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1554.8 4895.2 2820.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-180-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 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<p>\[ \mathbf{E}\left(S_{\tau} \mid \tau\right)=\tau \mathbf{E} \xi_{1} <br />\]</p>


<p>\[<br />\mathbf{E} S_{\tau}=\mathbf{E} \tau \mathbf{E} \xi_{1} <br />\]</p>


<p>\[ I_{\{\tau \geq k\}}= \begin{cases}1 &amp; \tau \geq k \\ 0 &amp; \tau &lt; k\end{cases}</p>
<p>\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned} \mathbf{E}\left(S_{\tau} \mid \tau\right) &amp;=\mathbf{E}\left(\sum_{k=1}^{n} \xi_{k} I_{\{\tau \geq k\}} \mid \tau\right) &amp; &amp; \\ &amp;=\sum_{k=1}^{n} \mathbf{E}\left(\xi_{k} I_{\{\tau \geq k\}} \mid \tau\right) &amp; &amp; \text { (Eigenschaft des bedingten Erwartungswer- } \\ &amp;=\sum_{k=1}^{n} I_{\{\tau \geq k\}} \mathbf{E}\left(\xi_{k} \mid \tau\right) &amp; &amp;\left(I_{\{\tau \geq k\}} \text { ist } \mathcal{D}_{\tau} \text {-meßbar, konstant auf den Ato- }\right.\\ &amp;=\sum_{k=1}^{n} I_{\{\tau \geq k\}} \mathbf{E} \xi_{k} &amp; &amp;\left(\xi_{k} \text { und } \tau \text { sind unabhängig. }\right) \\ \mathbf{E}\left(S_{\tau} \mid \tau\right) &amp;=\tau \cdot \mathbf{E} \xi_{1} &amp; &amp;\left(\xi_{k} \text { identisch verteilt, } \sum_{k=1}^{n} I_{\{\tau \geq k\}}=\tau .\right) \end{aligned} <br />\]</p>


<p>\[<br />\mathbf{E} S_{\tau}=\mathbf{E}\left[\mathbf{E}\left(S_{\tau} \mid \tau\right)\right]=\mathbf{E}\left[\tau \cdot \mathbf{E} \xi_{1}\right]=\mathbf{E} \tau \mathbf{E} \xi_{1}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\mathbf{E} S_{\tau} &amp;=\mathbf{E}\left(\sum_{k=1}^{n} \xi_{k} I_{\{\tau \geq k\}}\right) \\<br />&amp;=\sum_{k=1}^{n} \mathbf{E}\left(\xi_{k} I_{\{\tau \geq k\}}\right) \\<br />&amp;\left.=\sum_{k=1}^{n} \mathbf{E} \xi_{k} \mathbf{E} I_{\{\tau \geq k\}} \quad \text { (} \xi_{k} \text { und } \tau \text { sind unabhängig. }\right) \\<br />&amp;=\mathbf{E} \xi_{1} \mathbf{E} \sum_{k=1}^{n} I_{\{\tau \geq k\}} \\<br />&amp;=\mathbf{E} \xi_{1} \mathbf{E} \tau<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p>Es seien \( \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}, \tau \) unabhängige Zufallsgrößen, \( \xi_{1}, \ldots, \xi_{n} \) seien identisch verteilt, es gelte \( \tau \in\{1, \ldots, n\} \) und \( S_{\tau}=\sum_{i=1}^{\tau} \xi_{i} \).</p>
<p>Man zeige</p>
<p>\( \mathbf{E}\left(S_{\tau} \mid \tau\right)=\tau \mathbf{E} \xi_{1} \) und \( \mathbf{E} S_{\tau}=\mathbf{E} \tau \mathbf{E} \xi_{1} \).</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Rikuti mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Stochastik - Rikuti | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

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Lösung: