Ökonomische Anwendung - Kostenfunktion

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Aufgabenstellung:

Zwei Produzenten produzieren differenzierte Güter. Um die gegebenen Produktionsmengen und zu verkaufen, werden die Preise für die beiden Güter als

gesetzt. Die Produzenten haben identische Kostenfunktionen von:

Bestimmen Sie das Cournot-Gleichgewicht und die zugehörigen Gewinne der Produzenten.
Wie erhöhen sich die gemeinsamen Gewinne, wenn die beiden Produzenten ein Kartell bilden würden und die Produktionsmengen und so festlegen, dass sie den Gesamtgewinn maximieren.

Lösungsweg:

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a) Cournot-Gleichgewicht und zugehörige Gewinne der Produzenten

Gewinn von Produzent

Gewinnmaximierungsbedingung (Ableitung der Gewinnfunktion nach gleich Null)

Da beide Produzenten die gleiche Kostenfunktion haben und die (inversen) Nachfragefunktionen bis auf die Indizes identisch sind, muss im Gleichgewicht gelten, dass . Somit muss gelten:

Das Cournot-Gleichgewicht ist und der zugehörige Gewinn eines Produzenten ist somit.

b) Wie erhöhen sich die gemeinsamen Gewinne, wenn die beiden Produzenten ein Kartell bilden würden und die Produktionsmengen und so festlegen, dass sie den Gesamtgewinn maximieren?

Der Gewinn des Kartells ist:

Zur Bestimmung des maximalen Kartellgewinns muss man den Gewinn nach Ableiten und dann gleich Null setzen und den Gewinn nach ableiten und dann gleich Null setzen. Daraus ergeben sich zwei Gleichungen in und . Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt die optimalen Mengen für das Kartell.

Ableiten des Gewinns des Kartells nach und gleich Null setzen ergibt:

Da beide Produzenten die gleichen Kosten und inverse Nachfragen bis auf vertauschte Indizes haben muss dann wegen Symmetrie für die optimalen Mengen gelten und damit

Somit ergibt sich für und :

Eingesetzt in den Gewinn des Kartells ergibt:

Die Steigerung des Gewinns beider Produzenten zusammen von in auf ist somit .

Lösung:

Steigerung des Gewinns auf