Zwischenwertsatz

Theorie:

Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz (in der hier verwendeten Form) lautet:

Eine stetige Funktion besitzt mindestens eine Nullstelle im Intervall , wenn und oder und gilt.

Vorgehen

Zwischenwertsatz

  1. Führe ggf. die vorliegende Fragestellung auf ein Nullstellenproblem (im folgenden ) zurück. Nutze z.B.:
    • Erreichung eines Wertes c:
    • Lösung einer Gleichung:
    • Fixpunktproblem:

  2. Setze die geforderten Intervallgrenzen in das aufgestellte Nullstellenproblem ein und zeige, dass unterschiedliche Vorzeichen entstehen.

    Mit Schritt 1 und 2 hast du gezeigt, dass dein Problem mindestens eine Lösung im Intervall hat.

  3. Sollst du zeigen, dass es höchstens eine Lösung gibt, so weise zusätzlich noch die Monotonie von auf dem Intervall nach. Zeige:
    • streng monoton fallend oder
    • streng monoton steigend



Aufgaben:

Aufgabe 1

Zeige, dass

 

genau eine Nullstelle in besitzt.

Aufgabe 2

Zeige, dass die Gleichung

eine Lösung im Intervall besitzt.

Aufgabe 3

Zeige mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass die Funktion mit:

in **genau einen** Fixpunkt besitzt.

Aufgabe 4

Zeige, dass die Gleichung

eine Lösung im Intervall besitzt.

Aufgabe 5

Zeige, dass die Funktion

auf dem Intervall **genau einen** Fixpunkt hat.

Aufgabe 6

Gegeben sei die Funktion mit:

a) Zeige, dass im Punkt stetig ist.

b) Zeige, dass ein existiert mit

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