In welchen Bereichen die Steigung einer Funktion zu- (Linkskurve) bzw. abnimmt (Rechtskurve), ist für viele mathematische Untersuchungen von hoher Relevanz. Hier lernst du diese Bereiche zu finden und zu interpretieren.

<p>Untersuche die folgende Funktion auf Konvexität bzw. Konkavität:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>f(x)&amp;=x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-8 x+1</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Untersuche die folgende Funktion auf Konvexität bzw. Konkavität:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
f(x)&=x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-8 x+1
\end{align*}" style="vertical-align: -0.726ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="31.95ex" height="2.583ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -820.9 14122 1141.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3041-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-3041-TEX-N-38" d="M70 417T70 494T124 618T248 666Q319 666 374 624T429 515Q429 485 418 459T392 417T361 389T335 371T324 363L338 354Q352 344 366 334T382 323Q457 264 457 174Q457 95 399 37T249 -22Q159 -22 101 29T43 155Q43 263 172 335L154 348Q133 361 127 368Q70 417 70 494ZM286 386L292 390Q298 394 301 396T311 403T323 413T334 425T345 438T355 454T364 471T369 491T371 513Q371 556 342 586T275 624Q268 625 242 625Q201 625 165 599T128 534Q128 511 141 492T167 463T217 431Q224 426 228 424L286 386ZM250 21Q308 21 350 55T392 137Q392 154 387 169T375 194T353 216T330 234T301 253T274 270Q260 279 244 289T218 306L210 311Q204 311 181 294T133 239T107 157Q107 98 150 60T250 21Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -70.9)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1900, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-34"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2531.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3531.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4031.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5229.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6229.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-32" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(7229.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8427.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(9427.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-38"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9927.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10721.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(11722, 0)"><use xlink:href="#MJX-3041-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Untersuche die folgende Funktion auf Konvexität bzw. Konkavität:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>f(x)&amp;=\exp \left(x^{2}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Untersuche die folgende Funktion auf Konvexität bzw. Konkavität:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
f(x)&=\exp \left(x^{2}\right)
\end{align*}" style="vertical-align: -0.83ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.429ex" height="2.791ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -866.7 6819.8 1233.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4484-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-4484-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-4484-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-4484-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-4484-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-4484-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-4484-TEX-N-78" d="M201 0Q189 3 102 3Q26 3 17 0H11V46H25Q48 47 67 52T96 61T121 78T139 96T160 122T180 150L226 210L168 288Q159 301 149 315T133 336T122 351T113 363T107 370T100 376T94 379T88 381T80 383Q74 383 44 385H16V431H23Q59 429 126 429Q219 429 229 431H237V385Q201 381 201 369Q201 367 211 353T239 315T268 274L272 270L297 304Q329 345 329 358Q329 364 327 369T322 376T317 380T310 384L307 385H302V431H309Q324 428 408 428Q487 428 493 431H499V385H492Q443 385 411 368Q394 360 377 341T312 257L296 236L358 151Q424 61 429 57T446 50Q464 46 499 46H516V0H510H502Q494 1 482 1T457 2T432 2T414 3Q403 3 377 3T327 1L304 0H295V46H298Q309 46 320 51T331 63Q331 65 291 120L250 175Q249 174 219 133T185 88Q181 83 181 74Q181 63 188 55T206 46Q208 46 208 23V0H201Z"></path><path id="MJX-4484-TEX-N-70" d="M36 -148H50Q89 -148 97 -134V-126Q97 -119 97 -107T97 -77T98 -38T98 6T98 55T98 106Q98 140 98 177T98 243T98 296T97 335T97 351Q94 370 83 376T38 385H20V408Q20 431 22 431L32 432Q42 433 61 434T98 436Q115 437 135 438T165 441T176 442H179V416L180 390L188 397Q247 441 326 441Q407 441 464 377T522 216Q522 115 457 52T310 -11Q242 -11 190 33L182 40V-45V-101Q182 -128 184 -134T195 -145Q216 -148 244 -148H260V-194H252L228 -193Q205 -192 178 -192T140 -191Q37 -191 28 -194H20V-148H36ZM424 218Q424 292 390 347T305 402Q234 402 182 337V98Q222 26 294 26Q345 26 384 80T424 218Z"></path><path id="MJX-4484-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-4484-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-4484-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-4484-TEX-SO-29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -17.2)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1900, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-N-65"></use><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-N-78" transform="translate(444, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-N-70" transform="translate(972, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2861.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3028.2, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(458, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1433.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-4484-TEX-SO-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Untersuche die folgende Funktion $f:(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ auf Konvexität bzw. Konkavität:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>f(x)&amp;=\frac{1}{1-x}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Untersuche die folgende Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f:(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.443ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6383.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3064-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-3064-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-3064-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-3064-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-3064-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-3064-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-3064-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-3064-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-3064-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3064-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(827.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3064-TEX-N-3A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1383.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3064-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1772.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3064-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2272.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3064-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2717.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3064-TEX-N-221E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3717.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3064-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4384, 0)"><use xlink:href="#MJX-3064-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(5661.8, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3064-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> auf Konvexität bzw. Konkavität:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
f(x)&=\frac{1}{1-x}
\end{align*}" style="vertical-align: -1.821ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.502ex" height="4.774ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1305 5968 2110" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3065-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-3065-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-3065-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-3065-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-3065-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3065-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-3065-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -37)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3065-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-3065-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-3065-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-3065-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1900, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3065-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(1117.2, 676)"><use xlink:href="#MJX-3065-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -686)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3065-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3065-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3065-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="2494.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Untersuche die folgende Funktion auf Konvexität bzw. Konkavität:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>f(x)&amp;=\frac{x^{2}}{(x-2)^{2}}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Untersuche die folgende Funktion auf Konvexität bzw. Konkavität:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
f(x)&=\frac{x^{2}}{(x-2)^{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.24ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.175ex" height="5.611ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1489.9 7149.6 2479.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4461-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-4461-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-4461-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-4461-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-4461-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-4461-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-4461-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -20)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1900, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="msup" transform="translate(1470.2, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.9)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2183.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2683.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4461-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="3676" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Untersuche die folgende Funktion auf Konvexität bzw. Konkavität:</p><p>\begin{align*}</p><p>f(x)&amp;=\frac{e^{3 x}}{9}\left(3 x^{2}-x-6\right)</p><p>\end{align*}</p>

<p>Untersuche die folgende Funktion auf Konvexität bzw. Konkavität:</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}f(x)&=\frac{e^{3 x}}{9}\left(3 x^{2}-x-6\right)\end{align*}" style="vertical-align: -1.943ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.561ex" height="5.016ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1358.6 10856 2217.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2153-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path><path id="MJX-2153-TEX-SO-29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -150.6)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1900, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="msup" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(607, -686)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-N-39"></use></g><rect width="1474" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3047.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(458, 0)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(958, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2155.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3156, 0)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3950.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4950.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5450.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2153-TEX-SO-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

Konvexität und Konkavität

Krümmungsverhalten untersuchen

<div id=5f082c94f69c91730d20826e class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Krümmungsverhalten untersuchen</h2>
<ol>
<li>Identifiziere, falls vorhanden, alle Unstetigkeitsstellen der Funktion $f(x)$</li>
<li>Leite $f(x)$ zweimal ab.</li>
<li>Bestimme alle Wendestellen der Funktion durch Nullsetzen der zweiten Ableitung $f^{\prime \prime}(x)=0$<br /><em>Merke: Es ist keine Überprüfung der Wendestellen nötig.</em></li>
<li>Bilde Intervalle, indem du alle gefundenen Unstetigkeitsstellen und Wendestellen nach aufsteigender Größe sortierst.</li>
<li>Wähle jeweils einen $x$ -Wert aus jedem Intervall, setze ihn die zweite Ableitung ein und interpretiere wie folgt:
<ul>
<li>Für $f^{\prime \prime}(x)&amp;gt;0$ ist die Funktion innerhalb des Intervalls <strong>konvex</strong>.</li>
<li>Für $f^{\prime \prime}(x)&amp;lt;0$ ist die Funktion innerhalb des Intervalls <strong>konkav</strong>.</li>
</ul>
</li>
</ol>
</div></div>


Eindimensionale Analysis

Kompakt oder nicht?

Beweisaufgabe

Vektorbündel

Elektrotechnik

Gleichstrom

Chien, Hrones, Reswick

Lyapunov-Stabilität

Grundlagen

Wahr/Falsch

Ladung, Strom, Stromdichte, Spannung

(Lokal) Kompakte Räume

Beobachtbarkeit

Steuerbarkeit

Mannigfaltigkeiten

Nyquist-Kriterium

Elektrische Feldgrößen 

Fundamentalgruppen

Erzwungene Schwingungen

MIMO-System

(Weg)zusammenhängende Räume

Thermodynamik und Kinetik chemischer Reaktionen

Reibung (Gleitreibung)

Sensitivität

Serlo 

Kirchhoffschen Gesetze

Metrische Räume

Sprungfunktion

reelle Zahlen

Wärmetransport – Temperaturstrahlung

Quicksort

Reihenschaltung, Parallelschaltung

Sortieralgorithmen

Ideales Gas

Algorithmen

Wärmeenergie 

Informatik

Thermodynamik und Wärme (Kurzweil)

Satz von Green

Kinetische Theorie

Satz von Stokes

Schwingung

Satz von Gauß

Laplace-Transformation

Supremum und Infimum

Elastostatik, Festigkeitslehre

Mehrfachintegrale berechnen

Grundarten der Belastung

Uneigentliches Supremum und Infimum 

Zug und Druck

Folgen

Zustandsänderungen 

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale

Kinetik, Kinematik

LR-Zerlegung

Wellen

Konvergenz und Divergenz

Schwingungen

Grundlagen der Wellenausbreitung

Rotation um eine feste Achse

(Matrix-) Normen berechnen

Quantenoptik

Gedämpfte Schwingungen

Kinematik des Punktes

Häufungspunkte und Cauchy-Folgen

Eindimensionale Bewegung

Reihen

Wellenoptik

Kriterien für Konvergenz von Reihen 

 Radio- und Fotometrie

Stetigkeit von Funktionen

Geometrische Optik

Kernumwandlung

Ableitung

Kurzweil Schwingungen

Molekülspektren

Linearität einer Abbildung prüfen

Röntgenstrahlung

Implizite Funktionen

Bewegungsgleichung

Integrale

Systematik des Atombaus

Kurzweil Wellen

Bahn- und Spinmagnetismus

Geometrische Optik (Kurzweil)

Quantentheorie

Bohr’sches Atommodell

Optische Instrumente

Grundlagen der ebenen Kinematik

Schwerpunkte paralleler angreifender Kräfte

Wärmeübertragung

Energieerhaltung für geschlossene Systeme

Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Hier findest du Aufgaben mit Lösungen und Theorie zu: Konvexität und Konkavität

Konvexität und Konkavität | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie