Hesse-Matrix

Theorie: Die Hesse-Matrix

In der mehrdimensionalen Analysis ist die Hesse-Matrix besonders häufig von Bedeutung, wenn es darum geht, Extremwerte von Funktionen mehrerer Variablen zu bestimmen. Sie enthält alle zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion. Wenn diese partiellen Ableitungen nun auch noch stetig sind, dann nennt man die Hesse-Matrix nach dem Satz von Schwarz symmetrisch. 

Hesse-Matrix

 

Die Hesse-Matrix einer Funktion fasst alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung zusammen. In der ersten Zeile stehen alle Ableitungen, bei denen zuerst nach der ersten Variable abgeleitet wurde, in der zweiten Zeile wurde zuerst nach der zweiten Variablen abgeleitet und so weiter.

Man schreibt für eine Funktion die Hesse-Matrix: . Dabei ist die Menge der Veränderlichen, von denen abhängt.
Für eine Funktion mit zwei Variablen sieht die Hesse-Matrix im Allgemeinen so aus:

mit (zweimalige Ableitung von nach
und ( zuerst nach , dann nach abgeleitet)
Analog funktioniert das bei einer Funktion drei Veränderlicher (und so weiter)



Hesse-Matrix bestimmen

 
  1. Berechne alle möglichen Kombinationen von den zweiten differentiellen Ableitungen.

  2. Schreibe sie in eine Matrix.
    Für eine Funktion mit drei Veränderlichen sieht das so aus:

Nach dem Satz von Schwarz spielt die Reihenfolge der Ableitung im Normalfall keine Rolle, es gilt also:
und

Somit ist die Hesse-Matrix meistens eine symmetrische Matrix.
Eine wichtige Anwendung hat die Hesse-Matrix bei der Bestimmung der Art von Extremstellen.

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