KIT - Klausuren - TM3

An dem momentan nach unten ragenden Pedal eines Fahrrades sei wie skizziert eine Schnur befestigt, die mit der Geschwindigkeit nach rechts gezogen wird. Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, dass die Räder auf der Unterlage rollen und das Fahrrad keinen Freilauf besitzt, die Geschwindigkeit des Fahrrades.

Gegeben:

Ein Punkt führt eine geradlinige Bewegung aus, bei der d.h. die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Weg - durch das folgende Diagramm gegeben ist:

1. Bestimmen Sie .
2. Für welchen Wert von ist ?

Zur Messung der Geschwindigkeit eines Geschosses wird das in der oberen Abbildung dargestellte ballistische Pendel verwendet. Das Geschoss dringt mit einer Geschwindigkeit in das Pendel ein und bleibt stecken (vollplastischer Stoß). Dabei bewegt sich das System um eine Höhe nach oben. Aus dieser Höhendifferenz soll nun die Geschossgeschwindigkeit ermittelt werden.

Gegeben:

Eine Punktmasse rutscht eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel hinunter. Nach stoßfreier Umlenkung in rutscht sie horizontal weiter. Die Bewegung beginnt ohne Anfangsgeschwindigkeit bei und ist reibungsfrei.

1. Bestimmen Sie die Zeit in Abhängigkeit des Neigungswinkels , die die Punktmasse benötigt um zu erreichen.
2. Bestimmen Sie die Zeit , die die Punktmasse von nach benötigt.
3. Wie groß muss der Winkel sein, wenn die Zeit für die Bewegung von bis minimal sein soll? (Es genügt zu untersuchen, bei welchem die Zeit extremal wird).

Gegeben:

Eine anfangs mit der Winkelgeschwindigkeit rotierende homogene Walze wird zum Zeitpunkt mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit auf einer rauhen schiefen Ebene (Reibungskoeffizient , Neigungswinkel abgesetzt.

1. Das System hat zwei Freiheitsgrade (wählen sie eine treffende Begründung):
   • weil es sich um ein ebenes Problem handelt,
   • weil die Koordinaten und die Rollbedingung erfüllen,
   • weil die Koordinaten und keiner kinematischen Bindung unterliegen.
2. Fertigen sie ein Freikörperbild der Walze an und stellen Sie die Bewegungsgleichungen des Systems in den Koordinaten und auf.
3. Bis zu welchem Zeitpunkt sind diese Bewegungsgleichungen gültig?

Gegeben:

Ein als Punktmasse idealisierter Radfahrer (vernachlässigen Sie die Höhe des Rades und des Fahrers) möchte gerade so über ein Hindernis der Höhe springen. Dazu fährt er in mit seinem Rad mit der horizontalen Anfangsgeschwindigkeit reibungsfrei eine Rampe der Höhe hinunter um bei einer kleineren Rampe der Höhe unter dem Winkel und der Geschwindigkeit abzuspringen. Der Radfahrer bleibt bei seinem Stunt eine Zeitspanne von in der Luft bis er in auf dem Boden aufkommt. Die Flugkurve ist durch die gestrichelte Linie dargestellt.

1. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Radfahrers am Ende der kleinen Rampe?
2. Welche Höhe muss die Startrampe haben?
3. Welche horizontale Strecke überwindet der Radfahrer bevor er auf dem Boden in landet?
4. Wie groß ist die Höhe des Hindernisses?
5. Wie groß ist die Auftreffgeschwindigkeit des Radfahrers am Boden in

Gegeben:

Gegeben ist das dargestellte System bestehend aus einem starren Stab (Masse , Länge , welcher sich an der Wand über zwei Federn mit den Federsteifigkeiten und abstützt, und eine Walze (Masse , Radius ), die mit dem starren Stab durch eine weitere Feder mit der Steifigkeit verbunden ist. Die Federverlängerung ist nur in horizontaler Richtung zu berücksichtigen. Bestimmen Sie unter Verwendung der Koordinaten und :

1. die potentielle Energie,
2. die kinetische Energie,
3. die Bewegungsgleichungen für große Auslenkungen,
4. die linearisierten Bewegungsgleichungen des Systems

Gegeben:

Oben ist das mechanische System einer Rückschlagklappe gegeben, das aus zwei masselosen Pendelstangen der Längen mit Kopfmassen besteht. Die Pendel sind so befestigt, dass sich die Kopfmassen in der vertikalen Gleichgewichtslage gerade so berühren. In der vertikalen Gleichgewichtslage des unteren Pendels ist die Drehfeder entspannt und die untere Kopfmasse besitzt den Abstand zur Wand. Beim Schliefsvorgang bewegt sich das obere Pendel aus der waagerechten Ruhelage (Anfangsbedingungen und ungebremst auf das untere Pendel (Anfangsbedingungen und zu wobei es zum teilelastischen Stoß beider Kopfmassen mit der Stoßzahl kommt.

1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der oberen Kopfmasse unmittelbar vor dem Stoß.
2. Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten und beider Kopfmassen unmittelbar nach dem teilelastischen Stoß.
   
   Verwenden Sie für die weitere Berechnung und
   
   
3. Welche maximalen Ausschläge und erreichen beide Kopfmassen nach dem Stoß? Unter welchen Vorrausetzungen kommt es zur Kollision des unteren Pendels mit der Wand?
   Hinweis: bzw. darf angenommen werden.

Gegeben:

Das dargestellte System ist das mechanische Modell einer Deckenkonstruktion mit einer Gesamtlänge von . Vereinfachend kann die Gesamtmasse der Decke als konzentrierte Einzelmasse in Feldmitte angenommen werden. Des Weiteren sei die Biegesteifigkeit mit gegeben. Die Decke wird durch eine harmonische Erregung

belastet.Für die nachfolgenden Berechnungen nehmen Sie die Ersatzfedersteifigkeit mit an.

1. Zeichnen Sie das Ersatzsystem und berechnen Sie die Ersatzfedersteifigkeit (siehe Hinweis)
2. Stellen Sie mithilfe der synthetischen Methode die Bewegungsgleichung der Decke bezüglich der Absolutkoordinate auf.
3. Zum Zeitpunkt befindet sich die Decke in der statischen Ruhelage. Lösen Sie die in b) aufgestellte Bewegungsgleichung für die Absolutkoordinate für . Beachten Sie hierbei, dass das System um die Ruhelage schwingt.
4. Was passiert wenn die Eigenfrequenz in der Nähe der Erregerfrequenz liegt? Mit welcher konstruktiven Maßnahme lässt sich die Eigenfrequenz beeinflussen, ohne dabei die Steifigkeit des Systems zu verändern?

Hinweis:

Für die Mittendurchbiegung gilt:

Gegeben:

In der Abbildung ist ein rotierendes Karussell skizziert. Sitz und Fahrgast können als Massenpunkt angesehen werden. Das Karussell rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit .

Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit sowie die Bahngeschwindigkeit der Fahrgäste auf dem Karussell, wenn die Halteseile (Länge ) um den Winkel gegen die Senkrechte geneigt sind?

Gegeben: .

Das dargestellte System besteht aus einer vertikal frei beweglichen Rolle , einer gelenkig gelagerten Rolle und einer Masse , die über ein masseloses, dehnstarres Seil verbunden sind. Der Reibungskoeffzient zwischen der Masse und der schiefen Ebene ist . Das System befindet sich zu Beginn in Ruhe und der Mittelpunkt der Rolle in einer Höhe über dem Boden. Es ist davon auszugehen, dass das Seil auf den Rollen nicht gleitet.

1. Geben Sie die kinematischen Beziehungen zwischen den Koordinaten und an.
2. Ermitteln Sie mit Hilfe des Arbeitssatzes die Geschwindigkeit, mit der die Rolle auf dem Boden aufsetzt.

Gegeben:

Gegeben ist das dargestellte Modell des auskragenden Teils einer abgespannten Brücke im Freivorbau. Die Brücke besteht aus einem starren Balken der Länge und der Masse . der durch zwei um geneigte Seile mit der Dehnsteifigkeit abgespannt ist. Die Massen der Seile sollen vernachlässigt werden. Die elastischen Eigenschaften des Balkens sind in einer Drehfeder mit der Steifigkeit konzentriert. Es soll angenommen werden, dass die Brücke nur kleine Schwingungen mit ausführt.

1. Geben Sie die Federsteifigkeiten der beiden Seile an.
2. Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systems mit Hilfe der synthetischen Methode auf.
3. Bestimmen Sie die statische Ruhelage.

Gegeben:

In der oben dargestellten Vorrichtung wird eine Kugel (Punktmasse ) an einer Feder (Federsteifigkeit ) in einem masselosen Rohr geführt. Die Feder hat im entspannten Zustand die Länge . Das Rohr ist im Punkt A aufgehängt und kann sich in der Zeichenebene um den Winkel frei bewegen. Die Koordinate gibt die Bewegung der Masse im Rohr bezogen auf die entspannte Länge an.

1. Stellen Sie mit Hilfe der Lagrangeschen Methode die Bewegungsgleichungen des Systems auf. Verwenden Sie hierzu die Koordinaten und .
   
   Im Folgenden sollen kleine Auslenkungen und nur die Bewegungsgleichung in der Koordinate betrachtet werden.
   
   
2. Wie lautet die linearisierte Bewegungsgleichung für ?
3. Welche Eigenkreisfrequenz hat die Bewegung bzgl. der Koordinate

Gegeben: .

Eine auf einer rauhen Ebene ruhende Seiltrommel (Masse , Massenträgheitsmoment ) wird in Bewegung gesetzt, indem am Seil unter dem Winkel mit der konstanten Kraft gezogen wird.

1. Schneiden Sie das System frei (Freikörperbild).
2. Bestimmen Sie die Beschleunigung des Schwerpunktes , wenn die Trommel rollt.
3. Wie groß muss dafür der Haftkoeffizient sein?

Gegeben:

An einer masselosen Stange der Länge ist eine Punktmasse befestigt.

1. Wie groß darf sein, damit das System im Erdschwerefeld schwingt (kleine Ausschläge)?
2. Wie groß muss der Dämpfungsgrad gewählt werden, damit nach 10 Vollschwingungen die Amplitude auf ihres Anfangswertes abgefallen ist und wie groß ist dann die Schwingungsdauer?

Gegeben:

Eine homogene Walze (Masse , Radius ) wird aus der Ruhe losgelassen und beginnt unter dem Einfluss des Schwerefeldes auf der rauhen Bahn nach rechts zu rollen.

1. Bestimmen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit im Punkt der Walze.
2. Rechts vom Punkt soll für den Haftungskoeffizienten gelten, wobei der Übergang stoßfrei erfolgt. Bestimmen Sie die maximale Höhe .
3. Bestimmen Sie die maximale Höhe für den Fall, das bereits ab dem Punkt die Haftung entfällt.
4. Es wird nun ein Loch in die Mitte der Walze gebohrt. Der so enstehende Hohlzylinder wird wiederum in aus der Ruhe losgelassen. Bis zum Punkt soll der Hohlzylinder rollen. Ab soll erneut für den Haftungskoeffizienten gelten. Ist die so erreichte maximale Höhe größer oder kleiner als Begründen Sie Ihre Antwort.

Gegeben:

Das dargestellte System besteht aus einer homogenen Walze (Radius , Trägheitsmoment , Masse ) und einem homogenen, starren Stab (Länge , Trähheitsmoment , Masse ). Der Stab ist im Mittelpunkt der Walze drehbar gelagert wobei eine Drehfeder (Federsteifigkeit ) beide Bauteile miteinander verbindet. Mit wird die Orientierung des Stabes beschrieben, mit die Orientierung der Walze und die Auslenkung des Schwerpunktes der Walze mit . Die Walze rollt ohne zu gleiten. Die Feder ist für entspannt. Verwenden Sie und als generalisierte Koordinaten.

1. Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
2. Wie lautet die kinematische Bindung zwischen und
3. Bestimmen Sie die kinetische Energie des Systems.
4. Bestimmen Sie die potentielle Energie des Systems.
5. Stellen Sie die Lagrangesche Funktion unter Verwendung der kinematischen Bindung auf und ermitteln Sie die Lagrangeschen Gleichungen 2.Art.
6. Linearisieren Sie die Bewegungsgleichungen bezüglich der Lage, die durch und gekennzeichnet ist und stellen Sie die Bewegungsgleichungen in einer Matrix-Vektor-Schreibweise dar.

Gegeben:

Zwei fest miteinander verbundene kreiszylindrische homogene Walzen der Masse und mit Radien und sind in reibungsfrei drehbar gelagert. Über die Walzen laufen, ohne zu rutschen, zwei masselose undehnbare, biegeweiche Ketten die rechts durch zwei Federn (Federkonstanten und ) und einem Dämpfer (Dämpfungskonstante ) mit dem Boden verbunden sind. Am linken Ende der Ketten sind zwei Massen und angebracht, welche zunächst auf einem Brett aufliegen. Zu Beginn ist das System in Ruhe und die Federn sind entspannt. Das Brett wird zum Zeitpunkt plötzlich nach unten weggeschwenkt.

1. Berechnen Sie mittels des Drallsatzes die Bewegungsgleichung des Systems in der Koordinate .
2. Wie groß ist die Eigenfrequenz des Systems?
3. Wie groß ist die gedämpfte Eigenfrequenz des Systems?
4. Wie groß darf die Dämpfungskonstante maximal sein, damit das System schwingungsfähig ist?

Gegeben:

Zwei gleich schwere Massepunkte gleiten aus der Ruhe heraus reibungsfrei zwei Bahnen unterschiedlicher Geometrie hinab. Berechnen Sie

1. die Geschwindigkeiten und der beiden Massepunkte am Ende der Bahnen sowie
2. die Zeiten und , welche die beiden Massepunkte für diese Bewegung benötigen.
3. Welcher Massepunkt kommt zuerst unten an?

Gegeben:

Hinweis:

Das skizzierte System besteht aus einer Stufenrolle 1 (Masse , Massenträgheitsmoment , Schwerpunktskoordinate ) und einer Rolle 2 (Masse , Massenträgheitsmoment , Schwerpunktskoordinate ), die über ein masseloses Seil verbunden sind.

1. Stellen Sie die kinematischen Zwangsbedingungen zwischen und auf und geben Sie die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems an.
2. Stellen Sie die Bewegungsgleichung in der Koordinate auf.
3. Für welches Verhältnis der beiden Massen bewegt sich die Rolle 2 nach unten?

Gegeben:

Zum Rangieren von Eisenbahnwagen wird ein Ablaufberg eingesetzt. Ein Wagen der Masse hat im Punkt A die Anfangsgeschwindigkeit Er fährt den Berg der Höhe hinunter und wird dann auf einer Strecke der Länge (gemessen ab Punkt ) mit einer Kraft

abgebremst. Im Punkt fährt der Wagen auf die abgebildete Bremsvorrichtung. Diese besteht aus einer Feder und einem Bremsklotz, der mit am Untergrund haftet.

1. Berechnen Sie mit Hilfe des Arbeitssatzes die Anfangsgeschwindigkeit , sodass der Wagen im Punkt die Geschwindigkeit hat.
2. Gehen Sie davon aus, dass der Wagen im Punkt die Geschwindigkeit hat. Welche Länge muss der Federweg mindestens haben, damit der Bremsklotz der Masse nicht gleitet? Wie groß ist für diesen Fall die Federsteifigkeit
   Stellen Sie zuerst das Gleichgewicht für den Bremsklotz auf und setzen Sie darin die Bedingung ein, dass die kinetische Energie vollständig in die Verformung der Feder übergeht.

Gegeben:

Hinweis:
Der als Massenpunkt anzusehende Wagen bewegt sich außerhalb der Strecke ohne Reibung. Der Term kennzeichnet lediglich, dass die Kraft immer entgegen der Bewegungsrichtung wirkt.

Eine reibungsfrei gelagerte Rolle (Masse , Massenträgheitsmoment ) sei wie skizziert an einer Feder (Federsteifigkeit ) befestigt, sodass in vertikaler Richtung Schwingungen möglich sind. Ferner sei die Rolle über ein masseloses Seil mit einer zweiten Masse und einem viskosen Dämpfer verbunden.

1. Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung des Systems in der Koordinate mit der Methode nach LAGRANGE.
2. Ermitteln Sie die statische Ruhelage des Systems.
3. Für die allgemeine Bewegung des Systems in Form einer gedämpften Schwingung bestimme man die Eigenkreisfrequenz und das Lehr'sche Dämpfungsmaß .

Gegeben:

Hinweis: Andere Lösungswege als die Methode nach LAGRANGE werden hier nicht aufgeführt.

Das oben abgebildete System bestehend aus zwei Massen und , die über ein masseloses starres Seil verbunden sind, besitzt zwei Freiheitsgrade. Das Seil ist reibungsfrei über zwei Rollen geführt.

1. Stellen Sie den Orts- und den Geschwindigkeitsvektor der Masse im skizzierten - Koordinatensystem auf.
2. Stellen Sie die Bewegungsgleichungen mit der Methode nach LAGRANGE in den gegebenen Koordinaten und auf.

Gegeben:

Hinweis: Andere Lösungswege als die Methode nach LAGRANGE werden nicht aufgeführt.