Exponentialfunktion, Logarithmus

Zwischen dem Luftdruck und der Höhe (gemessen gegenüber dem Meeresniveau) gilt unter der Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende Zusammenhang:

bar: Luftdruck an der Erdoberfläche; )

1. Geben Sie die Höhe als Funktion des Luftdruckes an und skizzieren Sie den Funktionsverlauf.
2. In welcher Höhe hat sich der Luftdruck halbiert?
3. Wie groß ist der Luftdruck in Höhe?

Bei einer adiabatischen Zustandsänderung des idealen Gases besteht zwischen den beiden Zustandsvariablen (Druck) und (absolute Temperatur) der folgende Zusammenhang:

( : Stoffkonstante, Verhältnis der Molwärmen und Druck bei der Temperatur .

Wie lässt sich die Stoffkonstante aus Druck und Temperatur bestimmen?

Wie hoch ist das angesparte Kapital nach Jahren bei Einzahlungen von EUR an jedem Monatsersten, monatlicher Verzinsung und effektivem Jahreszins?
Welche Rente, wiederum zum Monatsersten, kann über einen Zeitraum von Jahren gezahlt werden?

Bestimmen Sie jeweils die Gesamtsumme der monatlichen Raten für einen Auszahlungsbetrag von 100000 EUR bei Darlehen mit 30-jähriger Laufzeit zu folgenden Konditionen.

1. Auszahlung ( Disagio), jährliche Verzinsung mit
2. monatliche Verzinsung mit effektivem Jahreszins, kein Disagio

Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen.

Bestimmen Sie aus den Messwerten

der Massen einer radioaktiven Substanz die Halbwertszeit sowie die Massen zu den Zeiten und .

Zeigen Sie: Die Funktion ist umkehrbar.

Wie lautet die Umkehrfunktion?

Beim Aufladen eines Kondensators steigt die Kondensatorspannung im Laufe der Zeit nach dem Exponentialgesetz

Zeitkonstante, noch unbekannt).

1. Bestimmen Sie die Zeitkonstante aus dem Messwert .
2. Welchen Endwert erreicht die am Kondensator liegende Spannung? Nach welcher Zeit wird der halbe Endwert erreicht? Skizzieren Sie den Spannungsverlauf am Kondensator.
3. Errechnen Sie die Kondensatorspannung zum Zeitpunkt .

Ein Körper besitzt im Zeitpunkt die Temperatur und wird dann durch einen Luftstrom der konstanten Temperatur gekühlt, wobei für den Temperaturverlauf gilt:

mit Körpertemperatur zum Zeitpunkt und Konstante .

1. Nach beträgt die Körpertemperatur . Bestimmen Sie aus diesem Messwert die Konstante .
2. Welche Temperatur besitzt der Körper nach ?
3. Wann ist der Abkühlungsprozess beendet, welche Temperatur besitzt dann der Körper?
   Skizzieren Sie den Temperaturverlauf.

Beim Fallschirmspringen gilt unter der Annahme, dass der Luftwiderstand der Fallgeschwindigkeit proportional ist , d. h. , das folgende Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:

Dabei ist Masse des Fallschirmspringers incl. Fallschirm; Erdbeschleunigung; Reibungsfaktor, abhängig von den äußeren Umweltbedingungen.

1. Welche Endgeschwindigkeit erreicht der Fallschirmspringer?
   Annahme: Der Sprung erfolgt aus großer Höhe, der Fallschirmspringer ist also lange unterwegs.
2. Skizzieren Sie das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz.
3. Nach welcher Zeit wird die halbe Endgeschwindigkeit erreicht?

Gaußsche Glockenkurve:

Bestimmen Sie die Kurvenparameter und so, dass das Maximum an der Stelle angenommen wird und die Punkte und auf der Kurve liegen. Skizzieren Sie außerdem den Kurvenverlauf.

Die Bewegung eines stark gedämpften Federpendels lässt sich im sog. aperiodischen Grenzfall durch das Weg-Zeit-Gesetz beschreiben Auslenkung in : Zeit in s):

Es liegen drei Messwertpaare vor:

Bestimmen Sie die drei Kurvenparameter und und skizzieren Sie den „Schwingungsverlauf"

In einem stark gedämpften elektrischen Schwingkreis fließt ein Strom, dessen Stärke dem exponentiellen Zeitgesetz genügt (aperiodische Schwingung; in in s):

Gemessen wurden die Werte und .

Berechnen Sie die Parameter und und skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstärke . Gibt es einen Zeitpunkt, in dem der Schwingkreis stromlos ist?