Gegeben seien die Übertragungsfunktion einer Strecke \( P(s) \) und die Übertragungsfunktionen von 2 Reglern \( C_{1}(s) \) und \( C_{2}(s) \).
\[ P(s)=\frac{1}{s+1} \quad C_{1}(s)=2 \quad C_{2}(s)=2 \cdot\left(1+\frac{1}{s}\right) \]
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Berechnen Sie für beide Regler die resultierenden Kreisverstärkungen \( \left(L_{1}(s), L_{2}(s)\right) \), die resultierenden Sensitivitäten \( \left(S_{1}(s), S_{2}(s)\right) \) und die resultierenden komplementären Sensitivitäten \( \left(T_{1}(s), T_{2}(s)\right) \).</li>
<li>Bei der Berechnung von \( L_{2}(s) \) tritt eine Pol-Nullstellen-Kürzung auf. Stellt das ein Problem dar?</li>
<li>Berechnen Sie für beide vorgeschlagenen Regler die Systemantwort im eingeschwungen Zustand \( (t \rightarrow \infty) \) auf einen Sollwertsprung der Höhe 1 am Eingang. Wie gross ist der statische Regelfehler?</li>
<li>Berechnen Sie für beide vorgeschlagenen Regler die Systemantwort auf eine sprunghafte Störung mit Betrag 1. Berechnen Sie nur die Antwort im eingeschwungen Zustand \( (t \rightarrow \infty) \). Wie gross ist der statische Regelfehler?</li>
</ol>

Gegeben sei ein Regelsystem mit Strecke \( P(s) \in C^{p \times m} \), Regler \( C(s) \in C^{m \times p} \), Führungsgrösse \( r \in R^{p} \), Stellgrösse \( u \in R^{m} \) und Störgrösse \( d \in R^{p} \).
<img style="width: 70%; height: auto; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61ba2897d93572d54701387d.jpeg" alt="Abbildung" width="626" height="192" />
Das Ausgangssignal \( Y(s) \) lässt sich schreiben als
\[ Y(s)=T(s) R(s)+S(s) D(s), \]
wobei \( T(s) \) die Übertragungsmatrix der komplementären Empfindlichkeit und \( S(s) \) die Übertragungsmatrix der Empfindlichkeit bezeichnet.
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Leiten Sie die Matrizen der Empfindlichkeit und der komplementären Empfindlichkeit her, indem Sie den Regelkreis einmal bei \( e\left(S_{1}(s)\right. \) und \( \left.T_{1}(s)\right) \) und einmal bei \( u\left(S_{2}(s)\right. \) und \( \left.T_{2}(s)\right) \) "aufbrechen".</li>
<li>Verifizieren Sie die Identität der Matrizen, \( S_{1}(s) \equiv S_{2}(s) \), bzw. \( T_{1}(s) \equiv T_{2}(s) \).</li>
<li>Beweisen Sie den fundamentalen Zusammenhang \( T(s)+S(s)=I \)</li>
</ol>

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