<p>Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />g:(2,-1)^{\mathrm{t}}+t(3,4)^{\mathrm{t}}<br />\]</p>
<p>mit den Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />h_{1}:(5,4)^{\mathrm{t}}+s(2,3)^{\mathrm{t}}, \quad h_{2}: 2 x-3 y=-5<br />\]</p>

<p>Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
g:(2,-1)^{\mathrm{t}}+t(3,4)^{\mathrm{t}}
" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.985ex" height="2.484ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -847.9 8833.5 1097.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-34-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-34-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 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<p>mit den Geraden</p>
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<p>Bestimmen Sie den Abstand des Punktes \( P=(6,1,7) \) von der Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />g:(5,6,-3)^{\mathrm{t}}+t(0,1,2)^{\mathrm{t}}<br />\]</p>
<p>sowie die Projektion \( X \) von \( P \) auf \( g \).</p>

<p>Bestimmen Sie den Abstand des Punktes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" P=(6,1,7) " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.882ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5251.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-85-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path><path id="MJX-85-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-85-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-85-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path><path id="MJX-85-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-85-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-85-TEX-N-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path><path id="MJX-85-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-85-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1028.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-85-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2084.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-85-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2473.6,0)"><use data-c="36" xlink:href="#MJX-85-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2973.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-85-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3418.2,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-85-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3918.2,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-85-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4362.9,0)"><use data-c="37" xlink:href="#MJX-85-TEX-N-37"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4862.9,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-85-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> von der Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
g:(5,6,-3)^{\mathrm{t}}+t(0,1,2)^{\mathrm{t}}
" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.26ex" height="2.484ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -847.9 10722.8 1097.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-86-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-86-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 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<p>sowie die Projektion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" X " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.928ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 852 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-87-TEX-I-1D44B" d="M42 0H40Q26 0 26 11Q26 15 29 27Q33 41 36 43T55 46Q141 49 190 98Q200 108 306 224T411 342Q302 620 297 625Q288 636 234 637H206Q200 643 200 645T202 664Q206 677 212 683H226Q260 681 347 681Q380 681 408 681T453 682T473 682Q490 682 490 671Q490 670 488 658Q484 643 481 640T465 637Q434 634 411 620L488 426L541 485Q646 598 646 610Q646 628 622 635Q617 635 609 637Q594 637 594 648Q594 650 596 664Q600 677 606 683H618Q619 683 643 683T697 681T738 680Q828 680 837 683H845Q852 676 852 672Q850 647 840 637H824Q790 636 763 628T722 611T698 593L687 584Q687 585 592 480L505 384Q505 383 536 304T601 142T638 56Q648 47 699 46Q734 46 734 37Q734 35 732 23Q728 7 725 4T711 1Q708 1 678 1T589 2Q528 2 496 2T461 1Q444 1 444 10Q444 11 446 25Q448 35 450 39T455 44T464 46T480 47T506 54Q523 62 523 64Q522 64 476 181L429 299Q241 95 236 84Q232 76 232 72Q232 53 261 47Q262 47 267 47T273 46Q276 46 277 46T280 45T283 42T284 35Q284 26 282 19Q279 6 276 4T261 1Q258 1 243 1T201 2T142 2Q64 2 42 0Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44B" xlink:href="#MJX-87-TEX-I-1D44B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" P " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.699ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 751 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-88-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-88-TEX-I-1D443"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auf <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" g " style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-89-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-89-TEX-I-1D454"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>

<p>Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />g: 2 x-3 y=1<br />\]</p>
<p>mit den Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />h_{1}: 3 x-2 y=4, \quad h_{2}:(2,9)^{\mathrm{t}}+t(1,-2)^{\mathrm{t}}<br />\]</p>

<p>Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
g: 2 x-3 y=1
" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.544ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 6428.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-55-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-55-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-55-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-55-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-55-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-55-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 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<p>mit den Geraden</p>
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385H26Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="210E" xlink:href="#MJX-56-TEX-I-210E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(609,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1290.3,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-3A"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1846.1,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2346.1,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-56-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3140.3,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4140.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4640.6,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-56-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5408.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6464.1,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6964.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(7242.1,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(8408.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="210E" xlink:href="#MJX-56-TEX-I-210E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(609,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9699.1,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-3A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10254.9,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10643.9,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11143.9,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(11588.6,0)"><use data-c="39" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-39"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(12088.6,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="74" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-74"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13057.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-56-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(14058.1,0)"><use data-c="1D461" 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xlink:href="#MJX-56-TEX-N-74"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Untersuchen Sie, ob sich die folgenden Geradenpaare schneiden, und bestimm Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\( g:(1,2,3)^{\mathrm{t}}+s(1,1,0)^{\mathrm{t}}, \quad h:(0,1,1)^{\mathrm{t}}+t(3,2,1)^{\mathrm{t}} \)</li>
<li>\( g:(9,-3,-2)^{\mathrm{t}}+s(3,-2,0)^{\mathrm{t}}, \quad h:(3,5,0)^{\mathrm{t}}+t(6,-2,1)^{\mathrm{t}} \)</li>
</ol>

<p>Gegeben sind die Gleichungen folgender Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />g:\left(\begin{array}{r}<br />-7 \\<br />-1 \\<br />3<br />\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}<br />-1 \\<br />0 \\<br />1<br />\end{array}\right), \quad h:\left(\begin{array}{l}<br />2 \\<br />2 \\<br />9<br />\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}<br />-3 \\<br />4 \\<br />-4<br />\end{array}\right)<br />\]</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden</li>
<li>Bestimmen Sie die nächst gelegenen Punkte</li>
</ol>

<p>Gegeben sind die Gleichungen folgender Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
g:\left(\begin{array}{r}
-7 \\
-1 \\
3
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \quad h:\left(\begin{array}{l}
2 \\
2 \\
9
\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}
-3 \\
4 \\
-4
\end{array}\right)
" style="vertical-align: -3.733ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="43.229ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 19107 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-105-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-105-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 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xlink:href="#MJX-105-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="39" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-39"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1375,0)"><use data-c="239E" xlink:href="#MJX-105-TEX-S4-239E" transform="translate(0,996)"></use><use data-c="23A0" xlink:href="#MJX-105-TEX-S4-23A0" transform="translate(0,-1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use data-c="239F" xlink:href="#MJX-105-TEX-S4-239F" transform="scale(1,0.924)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14551.1,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(15551.3,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-105-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(16079,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="239B" xlink:href="#MJX-105-TEX-S4-239B" transform="translate(0,996)"></use><use data-c="239D" xlink:href="#MJX-105-TEX-S4-239D" transform="translate(0,-1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use data-c="239C" xlink:href="#MJX-105-TEX-S4-239C" transform="scale(1,0.924)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(778,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-34"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-105-TEX-N-34"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2153,0)"><use data-c="239E" xlink:href="#MJX-105-TEX-S4-239E" transform="translate(0,996)"></use><use data-c="23A0" xlink:href="#MJX-105-TEX-S4-23A0" transform="translate(0,-1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use data-c="239F" xlink:href="#MJX-105-TEX-S4-239F" transform="scale(1,0.924)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden</li>
<li>Bestimmen Sie die nächst gelegenen Punkte</li>
</ol>

<p>Ein Flugzeug startet in nordöstlicher Richtung, ein anderes von einem \( 50 \mathrm{~km} \) nördlich auf gleicher Höhe gelegenen Flughafen in östlicher Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit und Steigrate von \( 10 \% \). Geben Sie eine untere Schranke für die minimale Entfernung der beiden Flugzeuge für</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>gleiche</li>
<li>beliebige</li>
</ol>
<p>Startzeiten an.</p>

<p>Ein Flugzeug startet in nordöstlicher Richtung, ein anderes von einem <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 50 \mathrm{~km} " style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.907ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2611 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-404-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-404-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-404-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-404-TEX-N-6B" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T97 124T98 167T98 217T98 272T98 329Q98 366 98 407T98 482T98 542T97 586T97 603Q94 622 83 628T38 637H20V660Q20 683 22 683L32 684Q42 685 61 686T98 688Q115 689 135 690T165 693T176 694H179V463L180 233L240 287Q300 341 304 347Q310 356 310 364Q310 383 289 385H284V431H293Q308 428 412 428Q475 428 484 431H489V385H476Q407 380 360 341Q286 278 286 274Q286 273 349 181T420 79Q434 60 451 53T500 46H511V0H505Q496 3 418 3Q322 3 307 0H299V46H306Q330 48 330 65Q330 72 326 79Q323 84 276 153T228 222L176 176V120V84Q176 65 178 59T189 49Q210 46 238 46H254V0H246Q231 3 137 3T28 0H20V46H36Z"></path><path id="MJX-404-TEX-N-6D" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q351 442 364 440T387 434T406 426T421 417T432 406T441 395T448 384T452 374T455 366L457 361L460 365Q463 369 466 373T475 384T488 397T503 410T523 422T546 432T572 439T603 442Q729 442 740 329Q741 322 741 190V104Q741 66 743 59T754 49Q775 46 803 46H819V0H811L788 1Q764 2 737 2T699 3Q596 3 587 0H579V46H595Q656 46 656 62Q657 64 657 200Q656 335 655 343Q649 371 635 385T611 402T585 404Q540 404 506 370Q479 343 472 315T464 232V168V108Q464 78 465 68T468 55T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-404-TEX-N-35"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-404-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1000,0)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-404-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250,0)"><use data-c="6B" xlink:href="#MJX-404-TEX-N-6B"></use><use data-c="6D" xlink:href="#MJX-404-TEX-N-6D" transform="translate(528,0)"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> nördlich auf gleicher Höhe gelegenen Flughafen in östlicher Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit und Steigrate von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 10 \% " style="vertical-align: -0.127ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.147ex" height="1.824ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1833 806" 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Geben Sie eine untere Schranke für die minimale Entfernung der beiden Flugzeuge für</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>gleiche</li>
<li>beliebige</li>
</ol>
<p>Startzeiten an.</p>

<p>Zeigen Sie: Die Funktion \( y=3 \cdot 2^{3 x+1} \cdot 5^{3 x-1}, \quad-\infty &lt; x &lt; \infty \) ist umkehrbar. Wie lautet die Umkehrfunktion?</p>

<p>Zeigen Sie: Die Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" y=3 \cdot 2^{3 x+1} \cdot 5^{3 x-1}, \quad-\infty < x < \infty " style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="35.565ex" height="2.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 15719.6 1038.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-188-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-188-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-188-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-188-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2545.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3046,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-188-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1072,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1850,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5512.9,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(6013.1,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-188-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1072,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1850,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8257.8,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(8535.8,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9702.5,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10480.5,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-221E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11758.3,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(12814.1,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-188-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13663.8,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(14719.6,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-188-TEX-N-221E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist umkehrbar. Wie lautet die Umkehrfunktion?</p>

<p>Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene \( E \), die den Punkt \( P=(1,3,1) \) und die Gerade</p>
<p>\[<br />g:(-4,7,4)^{\mathrm{t}}+t(-1,4,1)^{\mathrm{t}}<br />\]</p>
<p>enthält, sowie die Abstände von \( E \) und \( g \) zum Ursprung.</p>

<p>Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" E " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.729ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 764 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-458-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D438" xlink:href="#MJX-458-TEX-I-1D438"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, die den Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" P=(1,3,1) " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.882ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5251.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-459-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 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<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
g:(-4,7,4)^{\mathrm{t}}+t(-1,4,1)^{\mathrm{t}}
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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-460-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(754.8,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-3A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1310.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1699.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2477.6,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2977.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3422.2,0)"><use data-c="37" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-37"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3922.2,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4366.9,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4866.9,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="74" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-74"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5836.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6836.4,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-460-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7197.4,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7586.4,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(8364.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8864.4,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(9309.1,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9809.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10253.7,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(10753.7,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="74" xlink:href="#MJX-460-TEX-N-74"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>enthält, sowie die Abstände von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" E " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.729ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 764 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-461-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D438" xlink:href="#MJX-461-TEX-I-1D438"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" g " style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-462-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-462-TEX-I-1D454"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zum Ursprung.</p>

<p>Gegeben ist die folgende Gerade </p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />g:(0,1,2)^{\mathrm{t}}+t(1,0,1)^{\mathrm{t}}<br />\]</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie die Projektion des Punktes \( P=(3,2,1) \) auf die Gerade.</li>
<li>Bestimmen Sie den Abstand von \( P \) zu \( g \).</li>
<li>Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene, die \( P \) und \( g \) enthält.</li>
</ol>

<p>Gegeben ist die folgende Gerade </p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
g:(0,1,2)^{\mathrm{t}}+t(1,0,1)^{\mathrm{t}}
" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.5ex" height="2.484ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -847.9 9944.8 1097.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-138-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-138-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 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<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie die Projektion des Punktes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" P=(3,2,1) " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.882ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5251.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-139-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path><path id="MJX-139-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-139-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-139-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-139-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-139-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-139-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-139-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-139-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1028.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-139-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2084.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-139-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2473.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-139-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2973.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-139-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3418.2,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-139-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3918.2,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-139-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4362.9,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-139-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4862.9,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-139-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auf die Gerade.</li>
<li>Bestimmen Sie den Abstand von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" P " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.699ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 751 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-140-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-140-TEX-I-1D443"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zu <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" g " style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-141-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-141-TEX-I-1D454"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</li>
<li>Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene, die <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" P " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.699ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 751 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-142-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-142-TEX-I-1D443"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" g " style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-143-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-143-TEX-I-1D454"></use></g></g></g></svg></mjx-container> enthält.</li>
</ol>

<p>Bestimmen Sie den Abstand des Punktes \( P=(0,-1,4) \) von der Ebene</p>
<p>\[<br />E:-2 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=-9<br />\]</p>
<p>sowie die Projektion \( X \) von \( P \) auf \( E \).</p>

<p>Bestimmen Sie den Abstand des Punktes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" P=(0,-1,4) " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.642ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6029.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-485-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path><path id="MJX-485-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-485-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-485-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-485-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-485-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-485-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-485-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-485-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-485-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1028.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-485-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2084.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-485-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2473.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-485-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2973.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-485-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3418.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-485-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4196.2,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-485-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4696.2,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-485-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5140.9,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-485-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5640.9,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-485-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> von der Ebene</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
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<p>sowie die Projektion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" X " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.928ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 852 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-487-TEX-I-1D44B" d="M42 0H40Q26 0 26 11Q26 15 29 27Q33 41 36 43T55 46Q141 49 190 98Q200 108 306 224T411 342Q302 620 297 625Q288 636 234 637H206Q200 643 200 645T202 664Q206 677 212 683H226Q260 681 347 681Q380 681 408 681T453 682T473 682Q490 682 490 671Q490 670 488 658Q484 643 481 640T465 637Q434 634 411 620L488 426L541 485Q646 598 646 610Q646 628 622 635Q617 635 609 637Q594 637 594 648Q594 650 596 664Q600 677 606 683H618Q619 683 643 683T697 681T738 680Q828 680 837 683H845Q852 676 852 672Q850 647 840 637H824Q790 636 763 628T722 611T698 593L687 584Q687 585 592 480L505 384Q505 383 536 304T601 142T638 56Q648 47 699 46Q734 46 734 37Q734 35 732 23Q728 7 725 4T711 1Q708 1 678 1T589 2Q528 2 496 2T461 1Q444 1 444 10Q444 11 446 25Q448 35 450 39T455 44T464 46T480 47T506 54Q523 62 523 64Q522 64 476 181L429 299Q241 95 236 84Q232 76 232 72Q232 53 261 47Q262 47 267 47T273 46Q276 46 277 46T280 45T283 42T284 35Q284 26 282 19Q279 6 276 4T261 1Q258 1 243 1T201 2T142 2Q64 2 42 0Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44B" xlink:href="#MJX-487-TEX-I-1D44B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" P " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.699ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 751 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-488-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJX-488-TEX-I-1D443"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auf <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" E " style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.729ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 764 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-489-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D438" xlink:href="#MJX-489-TEX-I-1D438"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>

<p>Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Ebene durch die Punkte</p><p>\[<br />(2,-1,-3), \quad(1,2,4), \quad(3,0,2)<br />\]</p><p>mit der Geraden \( g:(4,5,5)^{\mathrm{t}}+t(3,1,2)^{\mathrm{t}} \) sowie den Schnittwinkel.</p>

<p>Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Ebene durch die Punkte</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
(2,-1,-3), \quad(1,2,4), \quad(3,0,2)
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data-mml-node="msup" transform="translate(9197.7,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-510-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="74" xlink:href="#MJX-510-TEX-N-74"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> sowie den Schnittwinkel.</p>

<p>Bestimmen Sie den Schnittwinkel und die Schnittgerade der Ebene</p>
<p>\[<br />E: x+y+4 z=3<br />\]</p>
<p>und der Ebene \( E^{\prime} \), die die Punkte \( P=(4,1,1), \ Q=(6,5,-2) \) und den Ursprung enthält.</p>

<p>Bestimmen Sie den Schnittwinkel und die Schnittgerade der Ebene</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
E: x+y+4 z=3
" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.88ex" height="2.002ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 7903 885" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-534-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 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<p>Bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der beiden Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />g:\left(\begin{array}{c}<br />4 \\<br />-1 \\<br />-8<br />\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}<br />3 \\<br />-1 \\<br />-4<br />\end{array}\right), \quad h:\left(\begin{array}{c}<br />9 \\<br />6 \\<br />-6<br />\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}<br />7 \\<br />2 \\<br />-5<br />\end{array}\right)<br />\]</p>
<p>sowie die Hesse-Normalform der Ebene \( E \) durch \( g \) und \( h \).</p>

Geraden und Ebenen