Reihe, Konvergenz und Auswahl des Kriteriums

Eine Reihe ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Reihen haben also folgende Form:

Dabei ist die Laufvariable, eine Bildungsvorschrift, und der Startindex.

Definition

Reihe

Eine Reihe ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden:

Es existiert eine Vielzahl von Reihen, welche unterschiedliche Eigenschaften aufweisen können. Eine der am meisten untersuchten Eigenschaften bildet die Konvergenz bzw. Divergenz einer Reihe.

Konvergenz und Divergenz

Eine Reihe kann entweder Divergieren oder Konvergieren, jenachdem ob ihr Wert im endlichen liegt oder nicht.

Definition

Konvergenz einer Reihe

Konvergenz einer Reihe bedeutet, dass der Wert der Reihe endlich ist:

Definition

Divergenz einer Reihe

Divergenz bedeutet das Gegenteil von Konvergenz, also dass der Wert der Reihe unendlich ist:

Konvergenzuntersuchung

Um zu Beweisen, dass eine Reihe konvergiert gibt es prinzipiell 2 Möglichkeiten. Entweder man berechnet den Wert der Reihe und zeigt das dieser im Endlichen liegt oder man greift auf ein Konvergenzkriterium zurück.

Es gibt eine große Auswahl an Kriterien, welche sich je nach vorliegender Reihe zum Nachweis der Konvergenz/Divergenz anbieten. Die Auswahl solltest du dabei wie folgt treffen:

Vorgehen

Auswahl des richtigen Konvergenzkriteriums

  1. Quotientenkriterium:
    Geeignet wenn vorwiegend aus Produkten/Quotienten von Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Exponentialfunktionen besteht.

  2. Wurzelkriterium:
    Besonders geeignet wenn die Gestalt hat.

  3. Majoranten-/Minorantenkriterium:
    Sinnvoll wenn Terme wie enthält oder aus Summanden besteht. z. B.

  4. Leibnizkriterium:
    Zu verwenden wenn alternierendes (Vorzeichen wechselndes) Element besitzt:

  5. Notwendiges Kriterium:
    Damit eine Reihe überhaupt konvergieren kann muss gelten. Kannst du das Gegenteil zeigen, also so divergiert die Reihe sofort.

  6. Wert berechnen:
    Falls eine geometrische Reihe oder Teleskopreihe vorliegt, kannst du den Wert der Reihe berechnen. Hiermit ist dann auch automatisch gezeigt, dass die vorliegende Reihe konvergiert:

    • Wenn die Form besitzt, so handelt es sich um eine geometrische Reihe.
    • Teleskopreihen erkennt man meistes an Differenzen. Z. B. .

Oft wird in der Aufgabenstellung explizit nach einer Wertberechnung gefragt.

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