Kommen wir zur geometrischen Reihe . Wir betrachten zunächst den Fall und damit , da wir nur in diesem Fall die geometrische Summenformel anwenden können. Mit dieser Formel können wir die Partialsumme explizit berechnen. Wir erhalten:
Die geometrische Reihe konvergiert also genau dann, wenn die Folge konvergiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn eine konvergente Folge ist. Nun wissen wir, dass gegen 0 konvergiert, wenn ist, und gegen 1 konvergiert, wenn ist. Den Fall haben wir in diesem Abschnitt aber ausgeschlossen. Damit erhalten wir zunächst:
Hinweis
Wenn ist, dann konvergiert die geometrische Reihe .
Berechnen wir nun den Grenzwert der geometrischen Reihe für :
Fall
Bei gilt für alle , dass . Also ist die Folge keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe nach dem sogenannten Trivialkriterium, das wir später noch genauer betrachten.
Um die Divergenz zu veranschaulichen, betrachten wir den Fall für ein positives , also . So folgt für alle , dass . Damit können wir die Partialsummen abschätzen: . Also ist die Folge der Partialsummen durch die Folge nach unten beschränkt. Da divergiert, divergiert auch die Reihe als Folge der Partialsummen.
Zusammenfassung
Fassen wir das bereits Bewiesene zusammen: Für und divergiert die geometrische Reihe. Diese drei Fälle können wir in der Bedingung zusammenfassen. Für den Fall konvergiert die geometrische Reihe und hat als Grenzwert :
Formel
Geometrische Reihe Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn ist. Sie hat dann den Wert :
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