Majo- und Minorantenkriterium | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theori

Majoranten- und Minorantenkriterium

Mit dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium wird eine "komplizierte" Reihe auf den Ausdruck einer einfacheren Reihe zurückgeführt. Anschließend kann man dann das Konvergenzverhalten der einfacheren Reihe prüfen und so eine Aussage über die Konvergenz bzw. Divergenz treffen.

In der Praxis funktioniert das so, dass man die zu untersuchende Reihe durch Abschätzung nach oben/unten auf die bekannte Reihe harmonische Reihe zurückzuführt:

Vorgehen

Majoranten- und Minorantenkriterium

Stelle eine Vermutung über die Konvergenz/Divergenz der Reihe an. Überlege dafür, wie die Reihe sich für große verhält.
Weise deine Vermutung durch Abschätzung nach oben bzw. unten und anschließendem Vergleich mit der harmonischen Reihe nach:
- Majorantenkriterium (Konvergenznachweis):
  
  konvergiert absolut, wenn
- Minorantenkriterium (Divergenznachweis):
  
  divergiert, wenn

Majoranten- und Minorantenkriterium

In diesem Kapitel wirst du mit dem Majoranten- und Minorantenkriterium ein wichtiges Konvergenzkriterium kennenlernen. Mit diesem kannst du das Konvergenzverhalten einer Reihe auf das Konvergenzverhalten einer anderen Reihe zurückführen. So ist es möglich, eine Reihe „zu vereinfachen“. Mit diesen Kriterien kann nämlich eine Reihe so geschickt nach oben oder nach unten abgeschätzt werden, dass ein Beweis zum Konvergenzverhalten möglich wird.

Außerdem kann mit dem Majoranten-und Minorantenkriterium das Quotientensowie das Wurzelkriterium für Reihen bewiesen werden, welche beide in Aufgaben zur Reihenkonvergenz sehr nützlich sind.

Majorantenkriterium

Kommen wir zum Majorantenkriterium. Dieses lautet folgendermaßen:

Definition

Majorantenkriterium
Sei eine Reihe. Wenn es eine konvergente Reihe mit für alle gibt, dann konvergiert absolut.

Hinweis

Majorantenkriterium

Beachte, dass aus der Ungleichung automatisch folgt, dass ist, denn ist größer gleich der nicht negativen Zahl .
Es reicht beim Majorantenkriterium aus, wenn es ein gibt, so dass für alle gilt.
Wir möchten bei der Anwendung des Majorantenkriteriums eine möglichst einfach strukturierte Reihe als Majorante wählen, von der wir wissen, dass sie konvergiert. Häufig kann die konvergente Reihe als Majorante gewählt werden. Ebenso kann jede andere verallgemeinerte harmonische Reihe für in Betracht gezogen werden. Eine andere Möglichkeit ist es, die konvergente geometrische Reihe für , also etwa , auszuprobieren.

Beweis Majorantenkriterium

Wenn konvergiert, dann ist deren Partialsummenfolge nach oben beschränkt. Wegen für alle ist dann auch die Partialsummenfolge zu nach oben beschränkt. Es gilt nämlich

Minorantenkriterium

Ähnlich zum Majorantenkriterium ist das Minorantenkriterium. Jedoch kann mit diesem Kriterium die Divergenz und nicht die Konvergenz einer Reihe bewiesen werden.

Definition

Minorantenkriterium
Sei eine Reihe mit für alle . Wenn es eine divergente Reihe mit für alle gibt, dann divergiert auch die Reihe .

Hinweis

Minorantenkriterium

Analog zum Majorantenkriterium reicht es auch beim Minorantenkriterium aus, wenn die Voraussetzung für alle , für ein (festes) , erfüllt ist.
Beim Minorantenkriterium bietet sich häufig die divergente harmonische Reine als Minorante an. Ansonsten kommt aber auch jede der Reihen für , also etwa , als Minorante in Frage. Außerdem ist jede geometrische Reihe mit als Minorante geeignet.

Warnung:

Beim Minorantenkriterium ist die zusätzliche Bedingung notwendig! Gilt „,nur“ die zum Majorantenkriterium analoge Voraussetzung und beliebig, so folgt aus der Divergenz von nicht die Divergenz von . Es folgt lediglich, dass nicht absolut konvergiert. Als Beispiel betrachten wir die Reihen und mit und . Es gilt , und die harmonische Reihe divergiert. Jedoch kann man zeigen, dass nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert.