Rechenregeln für Reihen

by Mathe für Nicht-Freaks

(Analysis 1 )

Wir haben die Reihen als unendliche Summe kennen gelernt. Wie geht man aber mit ihr um? Darf man bei unendlichen Summen dieselben Rechenregeln anwenden, die für endiche Summen gelten? Kann man beispielsweise „wahllos" Klammern setzen und entfernen (Assoziativgesetz der Addition) oder Summanden „nach Lust und Laune“ umordnen (Kommutativgesetz der Addition)? Nein, nicht unbedingt: Wie wir sehen werden, gibt es beim Setzen von Klammern und beim Umordnen von Summanden bei Reihen Einschränkungen. Jedoch gibt es auch nützliche Rechenregeln: So darf man konvergente Reihen miteinander addieren und diese mit einer Konstanten multiplizieren.

Summenregel

 
Formel

Summenregel für Reihen
Seien und zwei konvergente Reihen. Dann gilt

Faktorregel

 
Formel

Faktorregel für Reihen
Sei eine konvergente Reihe und sei eine beliebige reelle Zahl. Es ist dann:

Aufteilungsregel

 
Formel

Aufteilungsregel für Reihen
Sei eine Folge. Wenn und konvergieren, dann ist auch konvergent, und es gilt:

Das Assoziativgesetz bei Reihen

Warum es kein allgemeines Assoziativgesetz für Reihen gibt

Bei endlichen Summen ist es dank des Assoziativgesetzes der Addition erlaubt, beliebige Klammern zu setzen. Beispielsweise ist

Analog gilt

Bei unendlichen Reihen müssen wir hingegen aufpassen. Betrachten wir in Analogie die Reihe

Diese Reihe hat die folgende Folge von Partialsummen:

Diese Folge springt zwischen den Werten 0 und 1 hin und her und ist damit divergent (da sie mit 0 und 1 zwei verschiedene Häufungspunkte besitzt). Durch Setzen von Klammern erhalten wir jedoch eine gegen Null konvergente Reihe:

In einer divergenten Reihe dürfen Klammern nicht beliebig gesetzt oder weggelassen werden, da sonst das Konvergenzverhalten der Reihe verändert werden kann. Obiges Beispiel zeigt auch, dass bei konvergenten Reihen Klammern nicht weggelassen werden dürfen. Die obige Reihe ist konvergent. Wenn wir aber die Klammern weglassen, erhalten wir die Ausgangsreihe , welche divergiert.

Beispiel: Eine Situation, wo Klammern gesetzt werden können

Betrachten wir die konvergente Reihe . Diese Reihe stellt die unendliche Summe dar. Zu ihr gehört die Partialsummenfolge:

Was passiert, wenn wir neue Klammern in der unendlichen Folge einfügen? Beispielsweise können wir zwei benachbarte Summanden durch eine Klammer zusammenfassen und erhalten so den Ausdruck In der Reihenschreibweise erhalten wir Damit erhalten wir folgende Partialsummenformel

Diese Partialsummenfolge ist eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Nun konvergiert die Reihe und damit auch die dazugehörige Partialsummenfolge. Da bei konvergenten Folgen auch jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, muss auch die neu geklammerte Partialsummenfolge gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Partialsummenfolge konvergieren. Es ist also möglich, Klammern in Reihen zu setzen.

Wann Klammern gesetzt und weggelassen werden können

Wenn wir in einer Reihe benachbarte Summanden durch Klammern zusammenfassen, bevor die Reihe gebildet wird, dann entsteht eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Nun gilt:

  • Konvergiert eine Folge, dann konvergiert jede Teilfolge.
  • Divergiert eine Teilfolge, dann divergiert auch die ursprüngliche Folge.

Da Klammersetzung in einer Reihe eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge ergibt, erhalten wir:

  • In konvergierenden Reihen können Klammern beliebig gesetzt werden.
  • In divergenten Reihen können Klammern beliebig weggelassen werden.

Wir erhalten den folgenden Satz:

 
Definition

Klammersetzen in Reihen
Konvergiert eine Reihe, so konvergiert auch jede Reihe gegen denselben Grenzwert, die durch neue Klammern aus der ursprünglichen Reihe entstanden ist. Divergiert eine Reihe, so können beliebig Klammerungen weggelassen werden.

Sei eine konvergente Reihe. Sei außerdem eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit . Hier gibt den Index des ersten Summanden der -ten Teilsumme an, die durch die Klammerung zusammengefasst wird. Es gilt also:

  • Konvergiert so konvergiert auch gegen denselben Grenzwert.
  • Divergiert , so divergiert auch In divergenten Reihen können also Klammerungen weggelassen werden, ohne dass das Grenzwertverhalten verändert wird.

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