Wir betrachten nun die harmonische Reihe Wir werden zunächst deren Konvergenz- bzw. Divergenzverhalten untersuchen. Anschließend beschäftigen wir uns mit dem asymptotischen Wachstumsverhalten der Reihe. Außerdem werden wir einige Varianten der Reihe, wie die alternierende harmonische Reihe und die verallgemeinerte harmonische Reihe untersuchen.
Vorüberlegung zur Monotonie und Beschränktheit
In der untenstehenden Grafik sind die ersten Partialsummen dieser Reihe aufgetragen.
Ist die Folge der Partialsummen beschränkt? Durch die Grafik lässt sich diese Frage nicht eindeutig beantworten. Der Anstieg der Partialsummen, d.h. die Differenz zwischen und wird für größer werdende immer kleiner. Dennoch ist nicht klar, ob wir eine Zahl finden können, so dass für alle gilt .
Eine andere Frage ist, ob die Reihe konvergiert, d.h. ob die Folge der Partialsummen gegen eine reelle Zahl konvergiert. Die Folge der Partialsummen ist streng monoton steigend: Für alle gilt
Wir wissen, dass monotone Folgen genau dann konvergieren, wenn sie beschränkt sind. Also ist auch hier die entscheidende Frage, ob die Folge der Partialsummen beschränkt ist.
Harmonische Reihe
Divergenz der harmonischen Reihe
Definition
Divergenz der harmonischen Reihe Die harmonische Reihe divergiert.
Erklärung/Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe
Die Folge ist monoton fallend. Wenn ist, ist Dementsprechend können wir die Summanden geschickt nach unten abschätzen und anschließend zusammenfassen:
Damit ist
Dies zeigt, dass die Folge gegen unendlich strebt und somit divergiert. Eine Folge divergiert, wenn eine Teilfolge von ihr divergiert. Weil die Teilfolge der harmonischen Reihe divergiert, muss auch die harmonische Reihe divergieren.
