Absolute Konvergenz einer Reihe

In diesem Kapitel werden wir mit der absoluten Konvergenz eine neue und stärkere Art der Konvergenz kennenlernen, welche auch bei einer beliebigen Umsortierung der Summanden ihr Konvergenzverhalten nicht ändert, was wir in einem späteren Kapitel genauer betrachten werden.

Motivation

Bei endlichen Summen ist es egal, in welcher Reihenfolge man die Summanden aufschreibt. Beispielsweise ist das Ergebnis von

dasselbe wie von

Dies gilt aufgrund der Kommutativität der Addition. Sie besagt, dass für alle reellen Zahlen ist. Wenn man endlich oft benachbarte Summanden vertauscht, ändert sich das Ergebnis nicht. Diese Invarianz bzw. „Unveränderlichkeit“ des Werts endlicher Summen gegenüber Summandenvertauschungen geht bei unendlichen Summen (also bei Reihen) verloren. Nehmen wir eine Reihe

Der Wert dieser Reihe kann sich durch eine Umordnung der Summanden ändern. So kann der Wert der folgenden Reihe ein anderer sein, als bei der ursprünglichen Reihe:

Bei einer Umordnung der Summanden kann eine konvergente Reihe sogar divergent werden und umgekehrt. Es stellt sich die Frage: Wann können wir die Summanden einer Reihe beliebig umordnen, ohne dass ihr Grenzwert oder gar ihr Konvergenzverhalten geändert wird? Für konvergente Reihen über reelle Zahlen kann man diese Frage leicht beantworten:

Definition

Was ist absolute Konvergenz?

Eine Reihe ist also genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge konvergiert. Bei absolut konvergenten Reihen werden die Beträge ihrer Summanden so schnell klein, dass die Summe der Beträge beschränkt bleibt (und damit die Reihe konvergiert).

Jede absolut konvergente Reihe konvergiert

Absolute Konvergenz ist eine stärkere Form der Konvergenz einer Reihe. Absolut konvergente Reihen sind genau die konvergenten Reihen, deren Konvergenzverhalten immun gegen eine Umsortierung der Summanden ist. Jede absolut konvergente Reihe konvergiert. Dies zeigen wir im folgenden Satz:

Beweis
Sei eine absolut konvergente Reihe. Das bedeutet konvergiert. Wir betrachten nun die Reihen als Partialsummenfolgen. In diesem Beweis wollen wir Cauchy-Folgen anwenden. Wir zeigen, dass die Partialsummenfolge der Reihe eine Cauchy-Folge ist. Sei dafür . Da konvergiert, ist die Partialsummenfolge eine Cauchy-Folge. Also gibt es ein , sodass für alle und gilt . Fassen wir die Summen zusammen und nehmen o.B.d.A. an, dass , dann gilt

Nun schätzen wir die Partialsummen der Reihe ab. Seien , so folgt

Also ist eine Cauchy-Folge und konvergiert deshalb. Somit konvergiert auch .

Hinweis: Aus dem Beweis folgt insbesondere , falls die Reihe absolut konvergiert. Es ist nämlich im Fall der absoluten Konvergenz:

Nicht jede konvergente Reihe ist absolut konvergent

Wir haben gerade bewiesen, dass jede absolut konvergente Reihe eine konvergente Reihe ist. Die Umkehrung gilt aber nicht: Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren. Ein Beispiel ist die alternierende Reihe . Diese Reihe konvergiert, was man mit dem Leibniz-Kriterium beweisen kann. Jedoch ist diese Reihe nicht absolut konvergent, da die divergente harmonische Reihe ist. Merken wir uns also:

Charakteristisches Kriterium für absolute

Konvergenz

Nun möchten wir ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für absolute Konvergenz untersuchen. Jede Reihe lässt sich in ihre positiven und negativen Reihenglieder zerlegen. Formal definieren wir dazu 

und

Ist beispielsweise , so ist

und

Es gilt und damit Die Frage ist nun, wann die beiden Reihen und konvergieren. Dann folgt auch Im folgenden Satz zeigen wir, dass die beiden Reihen genau dann konvergieren, wenn die ursprüngliche Reihe absolut konvergiert.