Durch Integrieren der Funktion $f(x)$ erhälst du die Stammfunktion $F(x)$. Diese Stammfunktion bildet die Grundlage der Integralrechnung und dient insbesondere dazu die Fläche unter einer Funktion berechnen zu können. Integrieren kann als Umkehrung vom Ableiten aufgefasst werde.

Integrieren

Durch Integrieren der Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.299ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1900 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-39-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-39-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-39-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-39-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-39-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-39-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-39-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511, 0)"><use xlink:href="#MJX-39-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> erhälst du die Stammfunktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="F(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.749ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2099 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-40-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-40-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-40-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-40-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-40-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(749, 0)"><use xlink:href="#MJX-40-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1138, 0)"><use xlink:href="#MJX-40-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1710, 0)"><use xlink:href="#MJX-40-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Diese Stammfunktion bildet die Grundlage der Integralrechnung und dient insbesondere dazu die Fläche unter einer Funktion berechnen zu können. Integrieren kann als Umkehrung vom Ableiten aufgefasst werde.

Integrationsregeln (Überblick)

<p>Die Integralrechnung ist zusammen mit der Differentialrechnung einer der wichtigsten Bereiche der Analysis. Allerdings ist das Integrieren einer Funktion oft deutlich schwerer als das Ableiten und im Unterschied zur Differentialrechnung existiert kein allgemeiner, flächendeckender Algorithmus. Das Berechnen eines Integrals ist also gewissermaßen ein geübtes Raten. </p>
<p>Glücklicherweise gibt es trotzdem einige Regeln und Methoden, die oft sehr hilfreich bei der Berechnung von bestimmten und unbestimmten Integralen sind: </p>


<div id="5f3e47d42a30fc640ecbd4b3" class="theoryExtraContainer extraContainerFormel" title="Formel">
<div class="extraContainerFormelHeader">
<h3 class="theoryExtraTitle">Integrationsregeln im Überblick</h3>
<div class="fas fa-equals extraContainerIcon mceNonEditable"> </div>
</div>
<div class="theoryExtraContent">
<p><em>Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$</em></p>
<p><strong>Faktorregel</strong></p>
<p>$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$</p>
<p><strong>Summenregel</strong></p>
<p>$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$</p>
<p><strong>Konstantenregel</strong></p>
<p>$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$</p>
<p><strong>Potenzregel</strong></p>
<p>$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$</p>
<p><strong>Partielle Integration</strong></p>
<p>$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$</p>
<p><strong>Integration durch Substitution</strong></p>
<p>$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$</p>
</div>
</div>

Grundintegrale

<p>Im Folgenden findest du eine Formelsammlung von wichtigen Integralen, die öfter mal vorkommen. Sich einige davon zu merken, wird dir sicher ab und zu viel Zeit sparen ;)</p>
<div id="5f3ea76463591ca9a97ad9c3" class="theoryExtraContainer extraContainerFormel" title="Formel">
<div class="extraContainerFormelHeader">
<h3 class="theoryExtraTitle">Liste wichtiger Grundintegrale</h3>
<div class="fas fa-equals extraContainerIcon mceNonEditable"> </div>
</div>
<div class="theoryExtraContent">
<p><strong>Potenzen:</strong></p>
<p>$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$</p>
<p>$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$</p>
<p> </p>
<p><strong>Gebrochenrationale Funktionen:</strong></p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$</p>
<p> </p>
<p><strong>Exponentialfunktionen:</strong></p>
<p>$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$</p>
<p>$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$</p>
<p> </p>
<p><strong>Irrationale Funktionen:</strong></p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$</p>
<p>$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$</p>
<p> </p>
<p><strong>Trigonometrische Funktionen:</strong></p>
<p>$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$</p>
<p>$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$</p>
<p>$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$</p>
<p>$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$</p>
<p> </p>
<p><strong>Hyperbelfunktionen:</strong></p>
<p>$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$</p>
<p>$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$</p>
<p>$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$</p>
<p>$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$</p>
</div>
</div>

Eindimensionale Analysis

Reihenschwingkreis

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4719.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 -213 431 -216Q434 -219 434 -231Z"></path><path id="MJX-44-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0T543 17T525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0T990 17T972 60Z"></path><path id="MJX-44-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-7B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(529, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1432.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1877.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-2026"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3215.9, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(529, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4219.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-7D"></use></g></g></g></svg></mjx-container> eines endlichdimensionalen Vektorraums <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="V" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.74ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 769 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-45-TEX-I-1D449" d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-45-TEX-I-1D449"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Hochpass

Reale Spule

Harmonische Schwingung

Allgemeine Netzwerkberechnung

Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Kreis mit Spule

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Grundbegriffe, Grundgrößen

Physik für Maschinenbau

Bewegter Leiter im Magnetfeld

Parallelschwingkreis

Gauß-Jordan-Algorithmus

Basis

Stromführender Leiter im Magnetfeld

Drehstromverbraucher

Regel von Sarrus (3x3)

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe zur Matrizenrechnung eingeführt und Grundrechentechniken vermittelt..

Matrizenrechnung - Grundlagen

Sternschaltung

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

Untervektorraum prüfen

Durchflutungsgesetz

Dreieckschaltung

Magnetischer Fluss

Leistung bei symmetrischer Belastung (Drehstrom)

Magnetische Feldstärke, Flussdichte & Permeabilität

Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Magnetische Feldgrößen

Schaltvorgänge in RL- und RC-Schaltungen

Kapazität von Kondensatoren

Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Das elektrisches Feld in der Umgebung von Punktladungen

Ohmsch-induktiver Gleichstromkreis

Elektrische Feldstärke & Potenzial

Gaußverfahren

Schub

Gleichspannung 

Biegung

Darstellung von Sinusgrößen

Winkel, Länge, Fläche, Volumen von Vektoren

Torsion

Technische Mechanik

Ebene Elastizitätstheorie

Statik

Hier lernst du wie man Umkehrfunktionen berechnet.

Umkehrfunktion bilden

Ohmsches Gesetz

Zugstab

Grundlagen der ebenen Kinematik

Dünnwandige Druckbehälter

Bewegungsgleichung

Ebener Spannungszustand

Grundlagen

TUHH-TM3

Eindimensionale Bewegung

Elastostatik Platzhalter

Lineare DGL

Maximum)

Kinematik des Punktes

TUHH-TM2

Rotation um eine feste Achse

Verzerrungen

Kinetik, Kinematik

Elastizitätsgesetz

Zug und Druck

Hoch- und Tiefpunkte sind bei der Betrachtung von Funktionen wichtige Bestandteile und finden auch bei reellen Problemen eine Anwendung. Wenn z. B. die Temperaturkurve eines Jahres aufgezeichnet wird, so kann mit Hilfe von Hoch- und Tiefpunkt der jeweils heißesten bzw. kältesten Tag ermittelt werden.

Lokale und global Extrema

Grundarten der Belastung

Regel von L`Hospital

Elastostatik, Festigkeitslehre

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion $f$, die auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stetig ist, jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ annimmt.  Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-22-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, die auf einem abgeschlossenen Intervall <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="[a,b]" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.431ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1958.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-23-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path id="MJX-23-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-23-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-23-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-23-TEX-N-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-23-TEX-N-5B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278, 0)"><use xlink:href="#MJX-23-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(807, 0)"><use xlink:href="#MJX-23-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1251.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-23-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1680.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-23-TEX-N-5D"></use></g></g></g></svg></mjx-container> stetig ist, jeden Wert zwischen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(a)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.201ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1857 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-24-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-24-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-24-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-24-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-24-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-24-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-24-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1468, 0)"><use xlink:href="#MJX-24-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(b)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.975ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1757 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-25-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-25-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-25-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-25-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-25-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550, 0)"><use xlink:href="#MJX-25-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939, 0)"><use xlink:href="#MJX-25-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1368, 0)"><use xlink:href="#MJX-25-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> annimmt.  Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Reihenschaltung, Parallelschaltung

Balken

Kirchhoffschen Gesetze

Normalspannungen

Elektrische Feldgrößen 

User

Ladung, Strom, Stromdichte, Spannung

placeholder 1

Trennung der Variablen (Separation)

placeholder 2

placeholder 3

Neues Thema 4

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck $(x-x_{0})^{n}$ interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Konvergenzradius bestimmen

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x-x_{0})^{n}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.1ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4022.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-35-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2183.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3159, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Triviale DGL

TM 2 Sammlung

Statische und kinematische Bestimmtheit (Fachwerke)

Die meisten Gleichungen besitzen eine oder mehrere Lösungen. Wie du diese Lösungen (Lösungsmenge) bestimmst lernst du hier.

Gleichungen

Neues Thema 5

Potential & Ladung am Kondensator

Neues Thema 2

Hier lernst du wie du Flächen zwischen verschiedenen Graphen oder Graphen und Koordinatenachsen bestimmst. Insbesondere das aufstellen eines passenden Integrals und die Wahl der Integrationsgrenzen sind von Bedeutung.

Integrieren

Einfache Integrale

Partielle Integration

Integrieren durch Substitution

Integration mittels Partialbruchzerlegung

Neues Thema vorschlagen

Integrationsregeln im Überblick

Liste wichtiger Grundintegrale