Integration mittels Partialbruchzerlegung

Theorie:

Integration durch Partialbruchzerlegung

Wenn es darum geht, über eine kompliziert aussehende, gebrochen rationale Funktion zu integrieren, dann ist es oft hilfreich, auf die Integration durch Partialbruchzerlegung zurückzugreifen. Die Grundidee hierbei ist es, den Bruch in eine Summe "aufzusplitten", um dann von der Summenregel Gebrauch machen zu können. Du hast also dann statt einem komplizierten Integral eine Summe aus mehreren deutlich einfacheren Integralen, die du einzeln berechnen kannst (Summenregel).

Vorgehen

Integration durch Partialbruchzerlegung

Liegt ein lntegral über eine gebrochen rationale Funktion mit den Polynomen und vor, so nutze folgende Schritte zur Integration:

Falls (Zählergrad Nennergrad), so führe als Erstes eine Polynomdivision durch.
Zerlege weiter mit einer Partialbruchzerlegung. Es entstehen mehrere kleinere Integrale.
Integriere jedes entstandene Integral einzeln (Summenregel).

Partialbruchzerlegung

Vorgehen

Für :

Faktorisiere den Nenner mit Hilfe seiner Nullstellen (Linearfaktorzerlegung):</p><p>
Stelle die Partialbrüche mit den gefundenen Nullstellen und Variablen auf:
Hinweis: Sollte eine Mehrfach-Nullstelle vorliegen (z.B. 3 mal ), so berücksichtige dies wie folgt:
Multipliziere die Gleichung mit der Linearfaktorzerlegung von . Kürzen anschließend und vereinfachen.
Vergleiche den entstandenen Ausdruck mit dem ursprünglichem Bruch. Stelle mit einem Koeffizientenvergleich ein lineares Gleichungssystem auf und löse dieses.
Setze die Lösungen für in die Partialbrüche aus 2) ein.